Astronomie

Signal-bruit en angström inverse pour la spectroscopie ?

Signal-bruit en angström inverse pour la spectroscopie ?


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Dans un article, je suis tombé sur la description du rapport signal sur bruit (SNR) pour les observations avec un spectrographe. Cela a été rapporté comme $10:1/mathring{A}$. Je suis plutôt nouveau en spectroscopie, alors quelqu'un pourrait-il me clarifier ces unités ? Pourquoi est-il utilisé et comment dois-je le lire ?


Un spectre imagé sur un CCD ou un autre détecteur est constitué de photons répartis le long d'un axe de longueur d'onde. Le rapport signal sur bruit (S/N) dépend du nombre de photons que vous avez de la source, du nombre de photons de l'arrière-plan, du bruit intrinsèque de l'électronique, etc. - et du type de bac dans lequel vous ajoutez les photons Si vous résumiez tous les photons à travers le spectre (sur toutes les longueurs d'onde), vous obtiendriez un nombre avec un S/B très élevé, mais aucune information spectrale. Si vous divisiez le spectre en N groupes de longueurs d'onde différents, vous obtiendriez un S/B inférieur par groupe, mais davantage d'informations spectrales.

Ce que le rapport S/N que vous mentionnez signifie, c'est que si vous avez divisé ce spectre en bacs de 1 Angstrom de large, vous auriez suffisamment de photons dans chaque bac pour un S/B de 10 dans chaque bac (au moins pour une région du spectre, probablement près de la longueur d'onde centrale). Vous pouvez alors avoir une idée de la façon dont le S/N s'améliorerait pour les bacs de taille supérieure à 1 Angström, ou comment il s'aggraverait pour les bacs plus petits. Le S/B par Angstrom est classique pour la spectroscopie optique, à la fois parce que les Angstroms sont traditionnels et parce que les spectrographes à résolutions modérées ont souvent des échelles de quelques dixièmes à plusieurs Angstroms par pixel le long de la direction de la longueur d'onde.


Attention : je n'ai jamais travaillé avec des spectres, et je n'ai pas de réponse complète. Quoi qu'il en soit, voici comment je le comprends:

Un spectrographe a une résolution $R = Delta lambda / lambda$ qui nous indique dans quelle mesure il peut distinguer la lumière de différentes longueurs d'onde. VIMOS du papier a une résolution de 200 à 2500. Avec le même flux de la source et pour un spectrographe basse résolution, vous obtenez plus de photons par tranche de longueur d'onde que pour un spectrographe haute résolution. Cela signifie que vous obtiendrez également un meilleur SNR. Donc, donner SNR / longueur d'onde est logique.

Voici où je suis très incertain : donner un SNR / $(0.1$nm$)$ devrait être équivalent à une limite de magnitude, si la distribution spectrale d'énergie est la même. Ou cela pourrait être un critère de qualité minimum sur le spectre - arrêtez de prendre des données dès que le SNR est atteint.


Signal-bruit en angström inverse pour la spectroscopie ? - Astronomie

On peut supposer que toutes les sources de bruit sont indépendantes. Lorsqu'on ajoute des variables aléatoires gaussiennes, la variance (sigma_T^2) du résultat est égale à la somme des variances de chaque gaussienne, (sigma^2_T = Sigma_i^n sigma^2_i) . Le bruit total, (N), est égal à l'écart type (sigma_T), et est donc donné par :
[N = sqrt.]
Le SNR est donc donné par
[ < m SNR>= S_o/N = frac>.]

Équation CCD en unités de compte (ADU)

  • (S_o), en unités de photons par seconde
  • (S_s), en unités de photons par seconde par pixel
  • (S_d), en unités d'électrons par seconde par pixel
  • (R), en unités d'électrons par pixel.

Certaines choses méritent d'être commentées dans la liste ci-dessus. Premièrement, (S_o) est le le total nombre de photons de l'objet, qui sera probablement étalé sur plusieurs pixels, alors que (S_s) est le nombre de photons du ciel par pixel. Deuxièmement, (S_o) et (S_s) sont en unités photoniques et non en électrons. Troisièmement, (S_o), (S_s) et (S_d) augmenteront avec le temps d'exposition, mais pas (R).

Nous devons utiliser des électrons dans l'équation SNR ci-dessus, et non le nombre de photons émis par la source. Les statistiques poissonniennes s'appliquent à tout ce que nous comptons, et dans ce cas nous comptons des électrons ! Le nombre total d'électrons détectés à partir de la source est donné par
[S_o Qt,]
où (t) est le temps d'exposition en secondes, et (Q) est l'efficacité quantique du CCD, exprimée par un nombre compris entre 0 et 1. De même, le nombre total d'électrons détectés depuis le ciel est
[S_s Qt n_p,]
où (n_p) est le nombre de pixels sur lesquels l'objet est réparti. En utilisant des arguments similaires pour les autres termes, l'équation CCD SNR est écrite comme
[ < m SNR>= frac < sqrt< S_o Qt + S_s Qt n_p + S_d t n_p + R^2 n_p >>,]
qui se simplifie en
[ < m SNR>= frac < S_o sqrt>< sqrt>.]

Parfois (S_o) et (S_s) seront dans des unités différentes - les astronomes aiment être maladroits, après tout. Nous devons toujours les convertir en unités d'électrons, car les électrons sont ce qui est réellement compté et obéissent donc aux statistiques poissoniennes. Avec (S_o) et (S_s) en photons, nous avons converti en électrons en utilisant le QE. Si (S_o) et (S_s) sont donnés en comptes, nous convertissons des comptes en électrons en utilisant le gain CCD (G) à la place du QE (Q). L'équation SNR CCD devient
[ < m SNR>= frac < S_o sqrt>< sqrt>.]
Enfin, on pourrait aussi trouver (S_o) et (S_s) donnés en unités de flux. Dans ce cas, nous divisons le flux par l'énergie moyenne d'un seul photon dans cette bande passante pour trouver le nombre de photons arrivant par seconde, puis utilisons le QE (Q) pour convertir en électrons par seconde.


Signal-bruit en angström inverse pour la spectroscopie ? - Astronomie

Le spectrographe imageur du télescope spatial (STIS) a été conçu comme un spectrographe polyvalent pour le télescope spatial Hubble (HST) capable de maintenir ou de dépasser les capacités spectroscopiques du spectrographe haute résolution Goddard (GHRS) et du spectrographe à objets faibles (FOS) sur la large bande passante s'étendant de l'ultraviolet (115 nm) au visible (1 µm). STIS réalise des gains de performances par rapport aux instruments HST de première génération susmentionnés, principalement grâce à l'utilisation de grands détecteurs surfaciques (1024x1024) dans les régions ultraviolette et visible du spectre. Une couverture spatiale et spectrale simultanée est assurée par une spectroscopie à fente longue ou sans fente de sources étendues. Un avantage de multiplexage spectral substantiel est obtenu pour la spectroscopie d'échelle ultraviolette. Cet article se concentrera sur la question clé des performances du rapport signal sur bruit (S/B) avec les détecteurs ultraviolets STIS. Les spectres obtenus au cours des premiers mois d'exploitation illustrent que des spectres S/B élevés peuvent être obtenus en exploitant l'avantage de multiplexage de STIS. À partir de l'analyse d'un seul spectre de GD 153, avec des statistiques de comptage de

130 est atteint par élément de résolution spectrale dans l'ultraviolet lointain (FUV) pour un spectre à champ plat. Sans flat-field, un S/N de

85 est atteint. Dans le proche ultraviolet (NUV), un seul spectre de GRW +70 deg5824, avec des statistiques de comptage de

150 par élément de résolution spectrale pour le spectre à champ plat. Sans flat-field, un S/N de

100 est atteint. Une capacité S/B encore plus élevée est illustrée par l'utilisation des fentes divisées à motif fixe (FP) dans les modes échelle à résolution moyenne. Les observations de BD 28 deg4211 donnent un S/N de

350 par élément de résolution spectrale sur une région spectrale étendue dans le FUV et le NUV, respectivement. Pour la même région spectrale, le S/N sans l'application d'un plat, ou l'utilisation d'une solution itérative spécialisée, donne un S/N de

290 dans le NUV. Le S/N correspondant à partir des statistiques de comptage pur est

380 dans le NUV. Des régions sélectives du spectre d'échelles BD 28 deg4211 avec des statistiques de comptage appropriées donnent des S/N toujours plus élevés. Ces S/N plus élevés de

380 dans le NUV, sont indiqués pour des régions spectrales étroites couvrant une petite étendue sur le détecteur et peuvent ne pas refléter la capacité S/B sur l'ensemble du détecteur. Ces résultats confirment que STIS est capable d'atteindre un rapport signal/bruit supérieur à 100:1 par élément de résolution spectrale à la fois dans les modes de premier ordre et d'échelle. Basé sur des observations avec le télescope spatial NASA/ESA Hubble, obtenues au Space Telescope Science Institute, qui est exploité par l'Association of Universities for Research in Astronomy, Inc. (AURA), dans le cadre du contrat NASA NAS5-26555.


Section d'observation par spectroscopie

Équipe de direction : David Whelan

Contributions de Ryan Maderak, Ulisse Munari et Stella Kafka

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Introduction

La surveillance spectroscopique des étoiles variables est un domaine relativement inexploré en astronomie, avec le potentiel de produire une mine de nouvelles informations. Alors que des objets individuels, tels que certaines variables cataclysmiques (CV), ont été étudiés avec des observations spectroscopiques à haute résolution temporelle couvrant des jours ou des semaines, il n'existe pas encore de données de surveillance spectroscopique à long terme pour les variables. De nombreux phénomènes variables intéressants se produisent sur des échelles de temps de plusieurs mois ou années, ce qui signifie que nous manquons d'informations qui pourraient s'avérer essentielles pour faire progresser notre compréhension et résoudre des problèmes de longue date (tels que le comportement déroutant des variables semi-régulières ou le -variables RV Tauri parfaitement comprises). Même pour des variables de période plus courte, il y a sûrement beaucoup à apprendre de l'observation spectroscopique à haute résolution temporelle. Il existe de nombreuses variables brillantes avec peu de données spectroscopiques disponibles, ce qui signifie que les observateurs équipés de spectroscopes sur de plus petits télescopes ont la possibilité d'avoir un impact !

Nous donnons ici de brefs aperçus de : les informations que nous pouvons tirer du spectre d'une étoile comment travailler avec des données spectroscopiques ce qu'il faut considérer lors de la sélection d'un équipement pour la spectroscopie les types spécifiques de variables que nous recommandons pour l'observation spectroscopique et comment soumettre vos spectres au AAVSO. Beaucoup plus de détails sont fournis dans les manuels et guides d'accompagnement.

Introduction aux spectres stellaires

Un spectre stellaire de base se compose du spectre thermique (alias corps noir) de l'étoile, qui forme le continuum, avec des raies d'absorption sombres résultant de transitions de niveau d'énergie atomique, certains types d'étoiles peuvent également avoir des raies d'émission lumineuses (correspondant également à des transitions de niveau d'énergie atomique). La force de ces raies atomiques dépend de l'abondance de chaque élément dans l'étoile, ainsi que de la température et de la densité des couches externes de l'étoile. Les raies d'absorption et d'émission dans le spectre d'une étoile peuvent donc être utilisées pour déterminer les propriétés physiques de l'étoile, ainsi que ses abondances/compositions chimiques.

La température de surface d'une étoile peut être représentée par sa type spectral, en utilisant la séquence de lettres : O B A F G K M, du plus chaud au plus frais. Cette séquence est basée sur la force des raies d'absorption dans le spectre de l'étoile, principalement les raies de l'hydrogène, qui se renforcent de O à A, puis s'affaiblissent à partir de A, les raies H et K du calcium se renforcent à partir de A, facilitant la classification des étoiles plus froides. . Pour chaque lettre, des chiffres de 0 à 9 sont utilisés pour une classification plus fine par exemple, le Soleil est G2. Des chiffres romains sont ajoutés pour indiquer le classe de luminosité, de I pour les supergéantes à V pour les étoiles de la séquence principale (celles au même stade évolutif que le Soleil). La classe de luminosité est attribuée en fonction de la largeur des raies spectrales : les étoiles de classe V (séquence principale) ont les raies d'absorption les plus larges car leurs atmosphères ont une densité plus élevée et les collisions entre les atomes rendent les transitions de niveau d'énergie moins bien définies (c'est appelé élargissement collisionnel) les étoiles de classe I ont les lignes les plus étroites.

L'effet Doppler s'applique à la lumière, de sorte que le spectre d'une étoile avec un mouvement relatif vers ou loin de la Terre sera décalé en longueur d'onde pour le mouvement vers la Terre, les longueurs d'onde passent à des valeurs plus courtes (décalage vers le bleu), et pour le mouvement loin de la Terre, les longueurs d'onde passent à des valeurs plus longues (décalage vers le rouge). Par conséquent, en comparant la longueur d'onde d'une raie dans un spectre stellaire à sa valeur connue, nous pouvons déterminer son vitesse radiale par rapport à nous. Si un objet tourne, la lumière d'un côté est décalée vers le rouge et la lumière de l'autre est décalée vers le bleu. Cela provoque des raies spectrales élargi en rotation. Les sorties de matière des étoiles (comme celles qui se produisent dans les CV) sont également révélées par des décalages Doppler, en particulier des raies d'émission des sorties.

Résumant la science qui peut être faite avec les spectres (compte tenu du contexte fourni ci-dessus) : les raies d'absorption peuvent fournir des abondances d'étoiles, ce qui peut faire la lumière sur les mécanismes de la pulsation stellaire (qui est entraînée en partie par l'absorption atomique, aka opacité) Les raies d'émission peuvent être utilisées pour étudier les conditions dans les atmosphères stellaires étendues et les écoulements sortants (d'intérêt pour les CV et les Novae) Les vitesses radiales peuvent être utilisées pour étudier la dynamique des variables pulsantes, des étoiles avec des écoulements sortants, ainsi que des binaires à éclipse.

Données spectroscopiques

Les détails du traitement et de la réduction des données spectroscopiques sont décrits dans le Manuel de spectroscopie AAVSO. La spectroscopie nécessite les mêmes données d'étalonnage de base et les mêmes corrections que pour l'imagerie et la photométrie, y compris les darks et les flats, mais notez que le flat-field est appliqué différemment car il est utilisé pour normaliser la réponse du spectrographe ainsi que la réponse du CCD. La principale différence avec la spectroscopie est la nécessité de spectres d'étalonnage de longueur d'onde. Celles-ci peuvent être prises à l'aide d'une lampe d'étalonnage (typiquement au néon et/ou à l'argon), ou un objet avec des raies connues, comme le Soleil (via le spectre du ciel solaire). Un spectre unique s'étend généralement sur plusieurs lignes/colonnes dans la direction perpendiculaire à la dispersion, elles doivent donc être co-ajoutées (cela peut se produire avant ou après l'étalonnage de la longueur d'onde, selon la configuration du spectrographe). Le spectre sera généralement normalisé au niveau du continuum avant d'être utilisé pour la science.

Instrumentation et observation

Un spectrographe de base est constitué d'une fente ou d'une fibre qui fournit la dispersion initiale (par diffraction), dont la lumière passe ensuite à travers un prisme et/ou réseau de diffraction pour fournir la dispersion spectrale complète (mais notez que certains réseaux sont également des réseaux de réflexion, spectrographes à prisme objectif existent également, où un prisme est utilisé comme élément objectif du télescope). L'un des principaux défis de la prise de données spectroscopiques est de maintenir l'étoile alignée avec la fente ou la fibre, ce qui nécessite généralement une étoile guide.

Parce que la lumière est dispersée, vous observerez généralement des étoiles beaucoup plus brillantes que celles qui pourraient facilement être observées pour l'imagerie ou la photométrie, pour une ouverture de télescope donnée. Par conséquent, bien que les spectres de faible à moyenne résolution puissent être pris avec des télescopes à plus petite ouverture (8 pouces ou moins), des ouvertures d'au moins 10 à 12 pouces sont recommandées pour les spectres à haute résolution, même pour les étoiles brillantes. Des expositions d'au moins plusieurs minutes seront souvent nécessaires pour obtenir une rapport signal sur bruit qui convient pour faire de la science. Notez que les spectrographes qui utilisent des réseaux ont souvent des réseaux modulaires, permettant des résolutions différentes. La résolution nécessaire dépend de la science en cours : les vitesses radiales et les raies fortes peuvent être mesurées à faible résolution, mais pour des objectifs plus précis tels que l'examen de la profils de ligne (c'est-à-dire les formes des lignes, qui peuvent révéler de petits mouvements ou d'autres effets détaillés), une résolution plus élevée sera nécessaire. Des directives détaillées pour la sélection de l'équipement et la conduite des observations sont discutées dans le guide d'instrumentation et d'observation de spectroscopie de l'AAVSO.

Astuces rapides:

Comment calculer votre échelle de dispersion : Si votre CCD a 2000 pixels et que votre spectre enregistré couvre 500 Angstrom, l'échelle de dispersion est de 0,25 Angstrom/pix.

Comment calculer le pouvoir de résolution : Si une raie intrinsèquement étroite (comme une raie isolée dans le spectre de comparaison) a une FWHM de 3 pixels alors, dans l'exemple ci-dessus, sa FWHM en Angström est calculée comme : (3 x 0,25) = 0,75 Angström. Le pouvoir de résolution est exprimé en lambda/dalta lambda, donc en observant la raie H-delta (à 4101 Angstrom), un FWHM=0,75 Angstrom correspond à un pouvoir de résolution de 5500. De manière équivalente, un FWHM=0,75 Angstrom pour la raie H-alpha ( à 6563 Angstrom) correspond à un pouvoir de résolution de 8750

Priorités du programme - cibles et projets recommandés

Étoiles chromosphériquement actives

Régions d'émission : Hydrogène et CaII H&K (émission chromosphérique) Caractéristiques d'absorption : CaII H&K. À la recherche de changements EW. Résolution d'au moins 1000. Observer une fois/semaine. Cibles sélectionnées :

Star Mag moyen.
chi Dra 3.5
U V Cet 6.8-13.0
e ps Eri 3.73
L'étoile de Barnard (V2500 Oph) 9.55
RS CVn 8-9
B F Lyn 7.7

Star P (jours) Luminosité hors éclipse Remarques
b Perseï 1.53 4.6 triple hiérarchique
Bêta par (Algol) 2.87 2.1
zeta Cen 2.29 2.5
parier Lyr 12.94 3.3
AP Psc 96.44 6.04
Cas TV 1.81 7.22

Les observations d'étoiles pulsantes permettent aux chercheurs de noter les tendances entre les observations spectroscopiques et photométriques qui révèlent des processus dans diverses couches des atmosphères stellaires. Ces tendances conduisent ensuite à une compréhension physique de l'étoile et à la formation de modèles pertinents de dynamique atmosphérique.

Spectra permettra d'étudier les courbes de vitesse radiale et les profils de lignes afin d'examiner les mouvements complexes au sein de l'atmosphère

À la lumière maximale, une haute résolution (R > 10 000) est requise et un SNR élevé de 80 à 100 par pixel. À la lumière minimale : le SNR peut être aussi bas que 50. Cela nécessitera des temps d'intégration totaux de 30 à 60 minutes sur de petits oscilloscopes.

Couverture de la longueur d'onde : H-alpha +/- 100 angströms, errant du côté de la salle rouge si la gamme spectrale est limitée.

Cibles d'intérêt (cadence souhaitée : le plus souvent possible, au moins un spectre par nuit) :

Spectrographes de moyenne à basse résolution (dispersion supérieure à 2 AA/pixel) :

-Il n'y a pas d'exigences particulières pour pouvoir mesurer la profondeur des bandes moléculaires (par exemple TiO). Une dispersion entre 2 et 6 °A/pixel fera l'affaire.

- Y a-t-il des chocs dans l'atmosphère pulsée (dérivés de la force relative des raies de Balmer - force de H-alpha, vs force de H-beta vs force de H-gamma) ?

Spectrographes haute résolution (dispersion requise 0,2 °A/pix ou mieux) :

- Vitesses radiales (VR) des raies de Balmer, couvrant le cycle de pulsation - Existe-t-il des variations à long terme des courbes de lumière de tels objets avec le temps ?

- Y a-t-il une variation de la forme de la courbe VD avec la période de pulsation ?

- Comparez les changements de RV de divers types de variables Mira - similitudes et différences

- Comment la courbe RV obtenue à partir des mesures au centre des bandes moléculaires fortes se compare-t-elle aux mesures RV des raies éloignées des bandes moléculaires ? Voit-on des amplitudes différentes ? Différentes phases peut-être ?

Pour les spectres haute et basse résolution :

- Comment le profil d'une raie d'émission change-t-il de forme (pics multiples, formes asymétriques, composantes d'absorption nettes superposées, etc.) au cours du cycle pulsatoire ? (se concentrer sur la ligne H-alpha)

Étoiles d'intérêt (cadence souhaitée : 1 spectre par étoile par semaine) :

Pour les céphéides et les RRL, la spectroscopie est particulièrement utile pour déterminer les courbes de vitesse radiale de l'étoile et explorer les changements des profils de raie le long du cycle de pulsation. Les études de vitesse radiale sont basées sur autant de raies métalliques que possible, donc les spectres échelle (R

10 000) avec une large gamme de longueurs d'onde sont les meilleurs. De plus, les variations du profil des raies (variations de la forme de la raie spectrale) peuvent donner des informations plus détaillées sur les mouvements dans les régions formant des raies (et sur la géométrie des pulsations, car pour ces étoiles la pulsation principale est radiale). Des spectres de résolution inférieure couvrant la gamme optique autour de 4500 - 6500 AA sont nécessaires pour détecter les changements de profil de ligne pendant un cycle de pulsation.

Pour Céphéides: Soit une large couverture dans l'optique 4500-6500AA pour les RV de précision, soit des lignes individuelles (telles que Halpha, triplet Ca II) qui pourraient présenter une variabilité intéressante ou des phénomènes de choc.

Star Mag lumineux. Mag faible. Remarques
XZ Cet 9.24 9.71 prototype de céphéides anormales
BL Elle 9.70 10.62
V533 Cent 8.21 8.74 Céphéide riche en C
RT TrA 9.43 10.18

Pour RR Lyre: une large couverture dans le bleu/optique 4000-6500AA, les raies Balmer et la raie D3 Hélium à 5872 AA sont intéressantes. Des longueurs d'onde légèrement plus bleues pourraient être meilleures pour les Lyra RR, car il y a des phases de pulsation lorsque leur spectre devient plutôt sans caractéristiques.

Star Mag lumineux. Mag faible. Remarques
RR Lyre 7.17 8.14 prototype canging Blazhko modes de pulsation supplémentaires
MT Tél 8.70 9.25
RZ Cep 9.15 9.72
SV Hya 9.78 11.0
LLD 9.18 10.27
X Ari 9.04 9.97

Les temps d'intégration doivent être ajustés en fonction de la période de pulsation de l'étoile. Un spectre par 0,05 unité de phase (ou mieux) est une bonne couverture pour toutes les périodes de pulsation, surtout si la période de pulsation est inférieure à un jour.

Céphéides avec flashs de rayons X

Demander n'importe quel spectre de résolution, de préférence 1/jour ou plus fréquemment. Lignes intéressantes : Balmer (absorption) à différentes phases de la période de pulsation.

Star Période minimale Période fMax Remarques
Polaris 1.97 2.00 la période augmente
Delta Cèpe 3.49 4.36
V473 Lyre 5.99 6.35
V1334 Cyg 5.77 5.96
VY Pyx 7.13 7.40

Émission : vents stellaires forts en He, Si, O, N ou C hautement ionisés avec des profils d'absorption P Cygni améliorés pour les éléments lourds. Les lignes changent avec le temps, à mesure que les vents évoluent et se dilatent. Etudier l'évolution à long terme des profils de lignes, et l'évolution de P-Cygni. De superbes cibles pour les analyseurs d'étoiles !

Étoiles d'intérêt (cadence souhaitée : 1 spectre par nuit ou surveillance continue) :

Les Novae sont des cibles d'opportunité ++++

exemple : spectre de nova Delphini

Systèmes jumelés (Christian Knigge et Stella Kafka)

Les binaires semi-détachés sont constitués d'un matériau d'accrétion naine blanche provenant d'une séquence principale de faible masse ou d'une étoile donneuse géante. La plupart de la lumière observée dans ces systèmes est générée par accrétion (disque d'accrétion, point chaud sur le disque, colonne d'accrétion) et est assez variable dans toutes les longueurs d'onde. Selon l'état optique, le spectre peut passer d'une émission large à une absorption large en fonction de la phase du cycle orbital et de l'inclinaison du système, l'intensité de la raie peut également changer. Par conséquent, les spectres à résolution de phase et la surveillance à long terme fournissent des informations précieuses sur le processus d'accrétion et la variabilité du système.

Les spectres instantanés des CV sont abondants dans la littérature. Cependant, il n'y a pas eu de suivi systématique d'un système sur des années. Les observateurs de l'AAVSO ont été méticuleux dans l'acquisition de la photométrie sur un certain nombre de cibles clés dans les hémisphères nord et sud, de sorte que leur comportement photométrique est raisonnablement bien caractérisé. Parallèlement à la photométrie, nous demandons un suivi similaire à long terme d'une cible sélectionnée. La cadence souhaitée est d'un spectre/jour ou (dans le cas des cibles à résolution de phase) d'un spectre/0,1 unité de phase. Toutes les résolutions.

  • Novae naine dans le silence ou l'explosion (et tout le reste). Spectra peut suivre les changements au fur et à mesure que le système devient clair/faible, évaluer les différences entre les états de repos, comparer la montée vers/depuis l'explosion, etc.
  • CV de type Nova: objets à haut taux de transfert de masse, présentant parfois des vents optiques (profils P Cygni) dans leurs raies HeI. Certains d'entre eux présentent également des états optiques élevés et faibles, probablement dus à l'arrêt de l'accrétion. Ils sont dominés par leur disque d'accrétion brillant.
  • Divers CV particuliers

Les microquasars sont des binaires à rayons X qui présentent des écoulements bipolaires ultra-relativistes. Dans ces systèmes, un objet compact de masse stellaire (soit une étoile à neutrons, soit un trou noir) accrète la matière d'une étoile supergéante compagne à travers un disque d'accrétion. Les raies d'émission proviennent du processus d'accrétion (disque, hotspot disque ou flux) ou de l'étoile donneur de masse. Les raies spectrales telles que H-alpha) et la raie He I à 6678˚A sont généralement visibles et variables en fonction de l'état du système. En particulier, la ligne He I 6678˚A est précieuse pour la mesure de vitesses radiales fiables du composant primaire afin d'obtenir une contrainte sur les paramètres orbitaux du système.

1000 ou plus sont nécessaires pour mesurer les variations EW, RV et FWHM de ces lignes, et un S/B supérieur à 20. Les temps d'exposition doivent être ajustés en conséquence.

Diverses cibles d'intérêt

Cible Type de var Gamme Mag Remarques
S5 1803+78 BLLAC 13,8-18,1 V comportement inhabituel
V725 Sgr KG 11,9-14,4 V changement de période ?

Cibles individuelles (à partir d'alertes et de campagnes cadence souhaitée : le plus souvent possible)

Veuillez suivre le lien d'alerte pour plus d'informations sur les exigences spectroscopiques des observations

Cible Type de var Gamme Mag Lien d'alerte Remarques
R Aqr palpitant 5,2-12,4 V Alerte 696 spectroscopie nécessaire pendant l'éclipse
b Perseï éclipsant 4.55-4.75 Alerte 655 spectroscopie nécessaire pendant l'éclipse
N ni 2018 nova 10.5 (à la découverte) Alerte 653 toutes les résolutions, toutes les gammes spectrales
V1307 Ori HerbigAeBe 9.48-9.83 V Alerte 657 Spectroscopie H-alpha, toutes résolutions
R Lun HerbigAeBe 11-13.8B Alerte 657 Spectroscopie H-alpha, toutes résolutions
V1410 Ori HerbigAeBe 9.39-9.73 V Alerte 657 Spectroscopie H-alpha, toutes résolutions
V346 Ori HerbigAeBe 10,1-10,9 V Alerte 657 Spectroscopie H-alpha, toutes résolutions
V1295 Aql HerbigAeBe 7,87-7,89 V Alerte 657 Spectroscopie H-alpha, toutes résolutions

Soumission de données - se connecter à la base de données de spectroscopie

Avant de pouvoir soumettre régulièrement des données spectroscopiques, nous devons d'abord valider vos observations d'un autre étalon spectroscopique de la liste fournie sur la page AIDE de la base de données spectroscopique de l'AAVSO.


Signal-bruit en angström inverse pour la spectroscopie ? - Astronomie

Pour tout système de mesure électronique, le rapport signal sur bruit (SNR) caractérise la qualité d'une mesure et détermine les performances ultimes du système. De nombreux appareils photo numériques pour la microscopie utilisent un capteur d'image CCD (dispositif à couplage de charge), la valeur SNR représente spécifiquement le rapport entre le signal lumineux mesuré et le bruit combiné, qui se compose de composants de signal indésirables apparaissant dans le système électronique et d'une variation naturelle inhérente. du flux de photons incidents. Étant donné qu'un capteur CCD collecte la charge sur un réseau d'emplacements physiques discrets, le rapport signal sur bruit peut être considéré comme l'amplitude relative du signal, par rapport à l'incertitude de mesure, sur une base par pixel. Les trois principales sources de bruit dans un système d'imagerie CCD sont bruit de photons, bruit sombre, et lire le bruit, qui doivent tous être pris en compte dans le calcul du SNR.

Le didacticiel s'initialise avec l'affichage d'un tracé graphique du rapport signal sur bruit en fonction du temps d'intégration (exposition) pour un système CCD hypothétique avec des spécifications typiques des caméras hautes performances utilisées dans les applications d'imagerie microscopique. Les paramètres qui affectent le rapport signal/bruit d'un capteur CCD peuvent être modifiés pour le système modélisé dans le didacticiel en utilisant la souris pour repositionner l'un des curseurs situés sous la fenêtre d'affichage. Au fur et à mesure que chaque variable est modifiée, la valeur calculée du rapport signal/bruit est mise à jour dans la case jaune de gauche. Lors de l'acquisition d'images avec des capteurs électroniques, y compris des CCD, des fluctuations apparemment aléatoires de l'intensité du signal constituent du bruit superposé au signal, et à mesure que l'amplitude du bruit augmente, l'incertitude du signal mesuré devient plus grande. Les modifications apportées aux facteurs qui affectent directement le niveau du signal et aux variables contribuant principalement au bruit du système ont un effet inverse sur le SNR qui se reflète dans la valeur affichée. Un rapport signal/bruit élevé est important dans l'acquisition d'images numériques de haute qualité, et est particulièrement critique dans les applications nécessitant des mesures lumineuses précises. Les boutons radio étiquetés Facteur de regroupement peut être sélectionné individuellement pour permettre une méthode d'amélioration du rapport signal sur bruit couramment utilisée avec les caméras CCD scientifiques, dans laquelle la charge générée par le signal à partir de groupes de pixels voisins est combinée lors de la lecture en "superpixels" plus grands. Le facteur de regroupement représente le nombre de pixels qui sont combinés pour former chaque pixel plus grand. Lorsque le SNR est recalculé pour refléter l'opération de regroupement, il est supposé que le signal est le même pour chaque pixel au sein d'un groupe.

Le signal mesuré d'un système d'imagerie CCD, utilisé dans le calcul du SNR, dépend du flux de photons incident sur le CCD (exprimé en photons par pixel par seconde), de l'efficacité quantique de l'appareil (où 1 représente une efficacité de 100 %) et de la temps d'intégration (exposition) pendant lequel le signal est collecté (secondes). Le produit de ces trois variables détermine la portion de signal (numérateur) du rapport signal/bruit, qui est pondérée par rapport à toutes les sources de bruit qui contribuent au terme dénominateur du rapport. leEfficacité quantique curseur dans le didacticiel fournit une plage de réglage de 20 à 98 pour cent, et le Flux de photons Le curseur permet de sélectionner des niveaux de lumière incidente entre 0,1 et 10 000 photons par pixel par seconde. le Temps d'intégration Le curseur ajuste le temps d'intégration du CCD sur une plage de 0,1 à 100 secondes.

Des curseurs sont fournis pour faire varier les spécifications du CCD pour Lire le bruit (2 à 20 électrons rms par pixel) et pour Courant sombre (0,01 à 50 électrons par pixel par seconde). La contribution du bruit des photons au bruit total est fonction du niveau du signal et n'est pas une variable de bruit indépendante qui peut être réduite par la conception de la caméra ou la méthode de fonctionnement, mais est prise en compte dans le calcul du SNR. Le champ numérique jaune de droite (Photons/Pixel détectés) affiche le nombre total de photons de signal lus par le CCD pour chaque pixel sur la période d'intégration actuellement définie par le curseur. Cette valeur représente le produit du flux de photons, de l'efficacité quantique et du temps d'intégration. La manipulation des cinq curseurs, en conjonction avec les boutons radio adjacents à plusieurs, produit une gamme de valeurs de rapport signal sur bruit correspondant à la plupart des conditions de fonctionnement susceptibles d'être rencontrées dans l'utilisation de caméras CCD conçues pour l'imagerie à faible luminosité en microscopie. Lorsque le didacticiel est initialement chargé ou réinitialisé, le curseur se positionne par défaut sur des valeurs typiques d'un système de caméra de qualité scientifique hautes performances utilisant un CCD refroidi.

Trois principaux composants de signal indésirables (bruit), qui dégradent les performances d'un dispositif d'imagerie CCD en abaissant le rapport signal sur bruit, sont pris en compte dans le calcul du SNR global.:

Bruit de photons (parfois appelé bruit de tir) résulte de la variation statistique inhérente au taux d'arrivée des photons incidents sur le CCD. Les photoélectrons générés au sein du dispositif semi-conducteur constituent le signal, dont l'amplitude est perturbée par des fluctuations qui suivent la distribution statistique de Poisson des photons incidents sur le CCD à un endroit donné. Le bruit photonique, ou variation de mesure, est donc équivalent à la racine carrée du signal.

Bruit sombre résulte de la variation statistique du nombre d'électrons générés thermiquement dans la structure en silicium du CCD, qui est indépendant du signal induit par les photons, mais fortement dépendant de la température du dispositif. Le taux de génération d'électrons thermiques à une température CCD donnée est appelé courant sombre. À l'instar du bruit photonique, le bruit noir suit une relation de Poisson avec le courant d'obscurité et équivaut à la racine carrée du nombre d'électrons thermiques générés pendant le temps d'exposition de l'image. Le refroidissement du CCD réduit considérablement le courant d'obscurité et, dans la pratique, les caméras hautes performances sont généralement refroidies à une température à laquelle le courant d'obscurité est négligeable sur un intervalle d'exposition typique.

Lire le bruit est une combinaison de composants de bruit de système inhérents au processus de conversion des porteurs de charge CCD en un signal de tension pour la quantification, et au traitement ultérieur et à la conversion analogique-numérique. La contribution majeure au bruit de lecture provient généralement du préamplificateur sur puce, et ce bruit est ajouté uniformément à chaque pixel de l'image. Les systèmes de caméras hautes performances utilisent des améliorations de conception qui réduisent considérablement l'importance du bruit de lecture.

Le calcul du rapport signal/bruit CCD dans le didacticiel utilise l'équation suivante:

Formule 1 - Rapport signal sur bruit

Un facteur supplémentaire qui doit être pris en compte est que les valeurs du flux de photons incidents et de fond, et l'efficacité quantique sont des fonctions de la longueur d'onde, et lorsque des sources d'éclairage à large bande sont utilisées, le calcul du rapport signal sur bruit nécessite que ces variables soient intégrées sur toutes les longueurs d'onde utilisées pour l'imagerie.

Diverses approches sont utilisées pour augmenter le rapport signal/bruit dans les systèmes d'imagerie CCD haute performance. Pour réduire la génération de charge thermique dans les couches semi-conductrices du CCD, qui se manifeste par un courant d'obscurité, des techniques de fabrication de dispositifs et des modes de fonctionnement spéciaux sont parfois utilisés. Il est courant de refroidir le CCD pour réduire le courant d'obscurité à un niveau négligeable en utilisant une réfrigération thermoélectrique ou cryogénique, ou si nécessaire, l'approche extrême du refroidissement à l'azote liquide peut être adoptée. En général, les capteurs CCD hautes performances présentent une réduction de moitié du courant d'obscurité tous les 5 à 9 degrés Celsius lorsqu'ils sont refroidis en dessous de la température ambiante, une spécification appelée « température de doublement ». Ce taux d'amélioration se poursuit typiquement jusqu'à une température d'environ 5 à 10 degrés en dessous de zéro, au-delà de laquelle la réduction du courant d'obscurité diminue rapidement. En plus de la conception spécialisée des circuits et de l'électronique, des techniques de filtrage utilisant des intégrateurs avancés et des méthodes de double échantillonnage sont parfois utilisées pour supprimer certains composants du bruit de lecture.

Figure 1 - Variation signal/bruit avec temps d'intégration

Figure 2 - Variation signal/bruit avec temps d'intégration

Étant donné que le bruit des photons est une propriété inhérente à la détection du signal CCD, qui ne peut pas être réduite par les facteurs de conception de la caméra, il représente essentiellement un "plancher de bruit" qui est le niveau de bruit minimum réalisable, dont l'effet relatif diminue à mesure que le flux de photons augmente. Par conséquent, il est souhaitable de faire fonctionner un système d'imagerie dans des conditions limitées par le bruit des photons, les autres composantes du bruit étant réduites à une relative insignifiance. Dans des conditions de faible niveau d'éclairage (en supposant que le bruit sombre est essentiellement éliminé par le refroidissement du CCD), le bruit de lecture est supérieur au bruit des photons et le signal d'image est dit être bruit de lecture limité. Le temps d'exposition de l'appareil photo (temps d'intégration) peut être augmenté pour collecter plus de photons et augmenter le SNR, jusqu'à ce qu'un point soit atteint où le bruit des photons dépasse à la fois le bruit de lecture et le bruit sombre. Au-delà de ce temps de pose, l'image est dite bruit photon limité.

Le nombre limité de photons disponibles pour la formation d'images est un facteur critique dans de nombreuses techniques de microscopie, et les systèmes de caméras CCD hautes performances sont spécifiquement conçus pour atteindre un mode de fonctionnement limité en bruit de photons à des niveaux de signal bien inférieurs à ceux des caméras conventionnelles, qui n'atteignent généralement jamais des performances limitées par le bruit des photons (et un SNR suffisamment élevé) à de faibles niveaux de lumière. Dans les microscopes à grand champ, qui utilisent couramment des caméras CCD, le signal total disponible à partir du volume focal de l'échantillon peut varier de plusieurs ordres de grandeur, en fonction en grande partie de la technique d'imagerie utilisée et de l'échantillon lui-même. Un flux de photons de 10e6 (1 million) photons par seconde à partir du volume focal, un niveau de lumière extrêmement faible, équivaut à une moyenne de 1 photon/pixel/seconde réparti sur la surface d'un capteur ayant 1 million de pixels actifs. À titre de référence, la limite de détection minimale de l'œil adapté à l'obscurité est environ 40 fois supérieure (40 millions de photons/seconde). Un microscope à fluorescence bien conçu produit généralement 10e8 à 10e9 photons par seconde à partir du volume focal, ou 100 à 1000 photons/pixel/seconde avec le même capteur de 1 mégapixel. Le mode d'imagerie à fond clair conventionnel produit généralement des niveaux d'éclairage, moyennés sur toute la zone du capteur, de 5 000 à environ 40 000 photons/pixel/seconde. À moins que l'intervalle d'intégration ne soit très court, les zones lumineuses d'une image à grand champ peuvent générer un signal détecté total de plus de 100 000 photons par pixel.

La figure 1 présente un graphique du rapport signal sur bruit en fonction du temps d'intégration (exposition) pour une caméra CCD hautes performances typique conçue pour l'imagerie à de faibles niveaux de signal, avec des caractéristiques de flux de photons et de capteur fixées aux valeurs indiquées sur la figure. Dans un tracé de ce type, une région limitée de bruit de lecture et une région limitée de bruit de photon peuvent être identifiées, séparées au temps d'exposition pour lequel le bruit de photon commence à dépasser le bruit de lecture (environ 0,15 seconde pour le capteur et les valeurs de flux lumineux spécifiées dans la figure). En raison de la relation racine carrée du bruit des photons au signal, cette division entre les deux régions se produit à un temps d'exposition pour lequel le signal détecté total par pixel est approximativement le carré de la valeur du bruit de lecture. Par exemple, avec une spécification de bruit de lecture de 5 électrons rms par pixel, le bruit photonique devient la source de bruit dominante lorsque le temps d'exposition est suffisant pour entraîner plus de 25 photons détectés par pixel au flux de photons incident existant. Le didacticiel interactif affiche un tracé similaire à celui de la figure 1, mais reflète les changements dans le tracé graphique à mesure que chacune des variables contrôlées par un curseur est ajustée. En plus de la valeur SNR calculée, affichée à gauche, la fenêtre jaune de droite met à jour la valeur dePhotons/Pixel détectés, et le message texte rouge dans la partie supérieure du graphique change pour indiquer si le bruit de lecture ou le bruit de photon prédomine pour les valeurs sélectionnées par les curseurs. Une flèche rouge suit la courbe tracée pour indiquer le temps d'intégration actuellement sélectionné. La transition entre les deux régimes de bruit dominant suppose que le bruit noir est négligeable, ce qui est typique du fonctionnement des systèmes d'imagerie CCD de qualité scientifique, bien que d'autres situations soient possibles.Le fonctionnement à des niveaux de courant d'obscurité élevés modifie l'importance des valeurs relatives du bruit de lecture et du bruit de photons dans certaines conditions, et dans de telles circonstances, le bruit d'obscurité peut submerger à la fois le signal et les autres composants du bruit.

Figure 3 - Amélioration du signal sur bruit avec le binning

Certaines caméras CCD de qualité scientifique permettent d'implémenter un pixel sur puce regroupement fonctionner comme un autre mécanisme pour augmenter le rapport signal/bruit. Il faut comprendre que cette méthode implique un sacrifice d'une certaine résolution spatiale, ainsi qu'une augmentation concomitante du courant d'obscurité. En améliorant le rapport signal sur bruit du CCD, le système d'imagerie est capable d'atteindre des conditions limitées de bruit photonique à un niveau de lumière inférieur et/ou un temps d'exposition plus court. Certains systèmes de caméra utilisent automatiquement un mode de regroupement de pixels pour l'affichage sur moniteur d'une image d'aperçu afin de fournir une image plus lumineuse à des fréquences d'images rapides, ce qui facilite le positionnement et la mise au point de l'échantillon. Pour démontrer cet effet de regroupement sur le SNR calculé, le didacticiel fournit des boutons radio correspondant à trois facteurs de regroupement. Les libellés des boutons indiquent le nombre de pixels regroupés comme suit: 1 pixel, pas de regroupement 4 pixels, tableau de 2x2 pixels combiné en un seul 16 pixels, tableau de 4x4 pixels combiné en un seul. La figure 2 illustre l'effet de différentes valeurs de binning sur des courbes traçant la variation du SNR avec le temps d'exposition. L'équation utilisée dans le didacticiel pour calculer le SNR est modifiée pour tenir compte du binning, comme indiqué ci-dessous:

Formule 2 - Rapport signal sur bruit

Dans cette équation modifiée, le symbole M représente le nombre de pixels regroupés, et il est supposé que le signal dans chacun de ces pixels est le même. Les trois courbes sont tracées pour les mêmes spécifications CCD typiques, comme indiqué sur le graphique, et pour une très faible intensité de signal d'échantillon, produisant un flux de photons de 40 photons par pixel par seconde incident sur le capteur. Notez que sans pixel binning, un temps d'exposition d'environ 4 secondes est nécessaire pour obtenir un niveau de signal limité par le bruit photonique. En mettant en œuvre un binning de 16 pixels, un SNR équivalent et un nombre total de photons détectés par pixel sont atteints à un temps d'exposition de seulement 0,25 seconde (voir Figure 2), ce qui permettrait de rafraîchir une image de prévisualisation à une fréquence d'images adéquate pour permettre la mise au point et positionnement de l'échantillon même à une faible intensité d'image. Une autre considération est qu'une image acquise en utilisant un temps d'intégration de 4 secondes bénéficierait d'une amélioration d'environ 5 fois du rapport signal/bruit avec l'utilisation du binning de 16 pixels, par rapport au mode unbinned. Dans de nombreuses situations, en particulier à de faibles niveaux d'éclairage, les avantages de la réduction du bruit et du contraste d'image amélioré qui en résulte l'emportent sur la perte de résolution spatiale théorique inhérente au processus de regroupement de pixels.

Auteurs contributeurs

Thomas J. Fellers, Kimberly M. Vogt, et Michael W. Davidson - National High Magnetic Field Laboratory, 1800 East Paul Dirac Dr., The Florida State University, Tallahassee, Floride, 32310.

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Signal-bruit en angström inverse pour la spectroscopie ? - Astronomie

La différenciation symbolique des fonctions est un sujet qui est introduit dans tous les cours élémentaires de Calcul. La différenciation numérique des signaux numérisés est une application de ce concept qui a de nombreuses utilisations dans le traitement analytique du signal. La dérivée première d'un signal est le taux de variation de y avec x, c'est-à-dire dy/dx, qui est interprété comme le pente de la tangente au signal en chaque point, comme illustré par l'animation à gauche (script). En supposant que l'intervalle x entre les points adjacents est constant, l'algorithme le plus simple pour calculer une dérivée première est :

où X'j Andy'j sont les valeurs X et Y du j ème point de la dérivée, n = nombre de points dans le signal, et X est la différence entre les valeurs X des points de données adjacents. Une variante couramment utilisée de cet algorithme calcule la pente moyenne entre trois points adjacents :

C'est ce qu'on appelle un différence-centrale méthode, son avantage est qu'elle n'implique pas de décalage de la position sur l'axe des x de la dérivée. Il est également possible de calculer segment d'écart dérivées dans lesquelles l'intervalle sur l'axe des x entre les points dans les expressions ci-dessus est supérieur à un, par exemple, Yj-2 Andyj+2, ou Oj-3 Andyj+3, etc. Il s'avère que cela équivaut à appliquer un lissage à moyenne mobile (rectangulaire) en plus de la dérivée.

le dérivée seconde est la dérivée de la dérivée : c'est une mesure de la courbure du signal, c'est-à-dire le taux de variation de la pente du signal. Il peut être calculé en appliquant le calcul de la dérivée première deux fois de suite. L'algorithme le plus simple pour le calcul direct de la dérivée seconde en une étape est

De même, les ordres dérivés supérieurs peuvent être calculés en utilisant la séquence de coefficients appropriée : par exemple +1, -2, +2, -1 pour la dérivée troisième et +1, -4, +6, -4, +1 pour la 4 dérivée, bien que ces dérivées puissent également être calculées simplement en prenant des dérivées successives d'ordre inférieur. La dérivée première peut être interprétée comme la pente de l'original en chaque point, et la dérivée seconde comme courbure, mais au-delà de cela, nous n'avons pas d'étiquettes à un seul mot, chaque dérivé n'est que le taux de changement de celui qui le précède.

Le lissage de Savitzky-Golay peut également être utilisé comme algorithme de différenciation avec le choix approprié d'arguments d'entrée, il combine la différenciation et le lissage en un seul algorithme.

le précision de différenciation numérique est démontrée par le script Matlab/Octave GaussianDerivatives.m (graphique), qui compare l'exact analytique expressions pour les dérivées d'une gaussienne (obtenue facilement de Wolfram Alpha) à la numérique valeurs obtenues par les expressions ci-dessus, démontrant que la forme et l'amplitude des dérivées correspondent exactement tant que l'intervalle d'échantillonnage n'est pas trop grossier. Il montre également que le nombre mla dérivée peut être obtenue exactement en appliquant m premières différenciations successives. En fin de compte, la limitation de précision numérique de l'ordinateur peut être une limitation dans certains cas extrêmes.

Propriétés de base des signaux dérivés

La figure de gauche montre les résultats de la différenciation successive d'un signal de pic gaussien généré par ordinateur (cliquez pour voir la figure en taille réelle). Le signal dans chacune des quatre fenêtres est la dérivée première de celle qui la précède, c'est-à-dire la fenêtre 2 est la dérivée première de la fenêtre 1, la fenêtre 3 est la dérivée première de la fenêtre 2, la fenêtre 3 est la deuxième dérivé de la fenêtre 1, et ainsi de suite. Vous pouvez prédire la forme de chaque signal en rappelant que la dérivée est simplement la pente du signal d'origine : là où un signal monte, sa dérivée est positive là où un signal descend, sa dérivée est négative et là où un signal a une pente nulle, sa dérivée est nulle. (Code Matlab/Octave pour cette figure.)

Le signal sigmoïde montré dans la fenêtre 1 a un point d'inflexion (point où la pente est maximale) au centre de la plage de l'axe x. Cela correspond à la maximum dans sa dérivée première (Fenêtre 2) et à la passage à zéro (point où le signal croise l'axe des abscisses allant soit du positif au négatif soit vice versa) dans la dérivée seconde dans la fenêtre 3. Ce comportement peut être utile pour localiser avec précision le point d'inflexion dans un signal sigmoïde, en calculant l'emplacement du passage par zéro dans sa dérivée seconde. De même, l'emplacement du maximum dans un signal de type crête peut être calculé précisément en calculant l'emplacement du passage par zéro dans sa dérivée première. Différentes formes de pics ont différentes formes de dérivées : la fonction Matlab/Octave DerivativeShapeDemo.m montre les premières formes dérivées de 16 formes de pics de modèles différents (graphique). Toute forme de pic lisse avec un seul maximum a des dérivées séquentielles qui présentent une série de maxima et minima alternés, dont le nombre total est un de plus que l'ordre dérivé. Les dérivées d'ordre pair ont un maximum ou un minimum au centre du pic, et les dérivées d'ordre impair ont un passage par zéro au centre du pic (code graphique, Matlab/Octave). Vous pouvez également voir ici que l'amplitude numérique des dérivées (valeurs de l'axe des y) est bien inférieure au signal d'origine, car les dérivées sont les différences entre les valeurs y adjacentes, divisé par l'incrément de la variable indépendante. (C'est la même raison pour laquelle le compteur kilométrique de votre voiture affiche généralement un nombre beaucoup plus grand que le compteur de vitesse, le compteur de vitesse est essentiellement la première dérivée du compteur kilométrique).

Une propriété importante de la différenciation des signaux de type pic est l'effet du pic largeur sur l'amplitude des dérivées. La figure de gauche montre les résultats de la différenciation successive de deux bandes gaussiennes générées par ordinateur (cliquez pour voir la figure en taille réelle). Les deux bandes ont la même amplitude (hauteur du pic) mais l'une d'elles est exactement le double de la largeur de l'autre. Comme vous pouvez le voir, le plus large le pic a le plus petit amplitude dérivée, et l'effet devient plus perceptible à des ordres dérivés plus élevés. En général, on constate que l'amplitude du n e dérivée d'un pic est inversement proportionnelle au n e puissance de sa largeur, pour des signaux ayant la même forme et la même amplitude. Ainsi, la différenciation discrimine en fait des pics plus larges et plus l'ordre de différenciation est élevé, plus la discrimination est grande. Ce comportement peut être utile dans les applications analytiques quantitatives pour détecter des pics superposés et masqués par des pics de fond plus forts mais plus larges. (code Matlab/Octave pour cette figure). L'amplitude d'une dérivée d'un pic dépend aussi de la façonner du pic et est directement proportionnel à son pic la taille. Les formes de pics gaussiens et lorentziens ont des formes et des amplitudes de dérivées première et seconde légèrement différentes. L'amplitude du n e dérivée d'un pic gaussien de hauteur H et de largeur W peut être estimée par l'équation empirique H*(10^(0,027*n^2+n*0,45-0,31)).*W^(-n), où W est le pleine largeur à mi-hauteur (FWHM) mesurée en nombre de points de données x,y.

Bien que la différenciation change la forme de type de pointe signale de manière drastique, un périodique signal comme un signal sinusoïdal se comporte très différemment. La dérivée d'une onde sinusoïdale de fréquence F est un déphasé onde sinusoïdale ou onde cosinusoïdale de la même fréquence et avec une amplitude proportionnelle à F, comme on peut le démontrer dans Wolfram Alpha. La dérivée d'un signal périodique contenant plusieurs composantes sinusoïdales de fréquence différente sera contiennent toujours ces mêmes fréquences, mais avec des amplitudes et des phases altérées. Pour cette raison, lorsqu'un signal musical ou vocal est différencié, la musique ou la parole est toujours complètement reconnaissable, mais avec les hautes fréquences augmentées en amplitude par rapport aux basses fréquences, et par conséquent, cela sonne "mince" ou "mince". . Voir cette démonstration pour un exemple.

Applications de la différenciation

Un exemple simple de l'application de la différenciation des signaux expérimentaux est montré dans la figure ci-dessous. Ce signal est typique du type de signal enregistré dans les titrages ampérométriques et certains types d'analyses thermiques et d'expériences cinétiques : une série de segments de ligne droite de pente différente. L'objectif est de déterminer combien il y a de segments, où tombent les ruptures entre eux et les pentes de chaque segment. C'est difficile à faire à partir des données brutes, car les différences de pente sont faibles et la résolution de l'affichage de l'écran de l'ordinateur est limitée. La tâche est beaucoup plus simple si la dérivée première (pente) du signal est calculée (en bas à droite). Chaque segment est maintenant clairement vu comme une étape distincte dont la hauteur (valeur de l'axe y) est la pente. L'axe des y prend maintenant les unités de dy/dx. Notez que dans cet exemple, les étapes du signal dérivé ne sont pas complètement plates, ce qui indique que les segments de ligne du signal d'origine n'étaient pas parfaitement droits. Ceci est probablement dû à un bruit aléatoire dans le signal d'origine. Bien que ce bruit n'était pas particulièrement évident dans le signal d'origine, il est plus perceptible dans le signal dérivé.


Le signal de gauche semble être une ligne plus ou moins droite, mais son calcul numérique dérivé (dx/dy), tracé à droite, montre que la ligne a en réalité plusieurs segments approximativement rectilignes avec des pentes nettement différentes et avec des ruptures bien définies entre chaque segment.

Il est communément observé que la différenciation dégrade le rapport signal sur bruit, à moins que l'algorithme de différenciation n'inclue un lissage soigneusement optimisé pour chaque application. Les algorithmes numériques pour la différenciation sont aussi nombreux que pour le lissage et doivent être choisis avec soin pour contrôler la dégradation signal/bruit.

Une utilisation classique de la seconde différenciation dans l'analyse chimique est la localisation des points finaux dans le titrage potentiométrique. Dans la plupart des titrages, la courbe de titrage a une forme sigmoïde et le point final est indiqué par le point d'inflexion, le point où la pente est maximale et la courbure est nulle. La dérivée première de la courbe de titrage présentera donc une maximum au point d'inflexion, et la dérivée seconde présentera un passage à zéro à ce moment. Les maxima et les passages à zéro sont généralement beaucoup plus faciles à localiser avec précision que les points d'inflexion.


Le signal de gauche est la courbe de titrage du pH d'un acide très faible avec une base forte, avec un volume en mL en abscisse et un pH en ordonnée. Le point final est le point de plus grande pente c'est aussi un point d'inflexion, où la courbure du signal est nulle. Avec un acide faible comme celui-ci, il est difficile de localiser précisément ce point à partir de la courbe de titrage d'origine. Le point final est beaucoup plus facile à localiser dans le dérivée seconde, représenté à droite, comme le passage à zéro.

La figure ci-dessus montre une courbe de titrage du pH d'un acide très faible avec une base forte, avec un volume en ml en abscisse et un pH en ordonnée. Le point d'équivalence volumétrique (le point final "théorique") est de 20 mL. Le point final est le point de plus grande pente c'est aussi un point d'inflexion, où la courbure du signal est nulle. Avec un acide faible comme celui-ci, il est difficile de localiser précisément ce point à partir de la courbe de titrage d'origine. La dérivée seconde de la courbe est affichée dans la fenêtre 2 à droite. Le passage par zéro de la dérivée seconde correspond au point final et est beaucoup plus précisément mesurable. Notez que dans le tracé de la dérivée seconde, les échelles de l'axe des x et de l'axe des y ont été agrandies pour montrer plus clairement le point de passage par zéro. Les lignes pointillées montrent que le passage à zéro tombe à environ 19,4 ml, proche de la valeur théorique de 20 ml.

Les dérivés peuvent également être utilisés comme un moyen simple de détecter une asymétrie inattendue dans des pics par ailleurs symétriques. Par exemple, un pic gaussien pur est symétrique mais, s'il est soumis à un élargissement exponentiel, peut devenir asymétrique. Si le degré d'élargissement est faible, il peut être difficile à détecter visuellement, c'est là que la différenciation peut aider. DerivativeEMGDemo.m (graphique) montre les dérivées 1 à 5 d'une gaussienne légèrement élargie (EMG) de ces dérivés, la seconde montre clairement pics positifs inégaux on s'attendrait à ce qu'elle soit égale pour un pic purement symétrique. Les dérivées plus élevées n'offrent aucun avantage clair et sont plus sensibles au bruit blanc dans le signal. Pour un autre exemple, si un pic gaussien est fortement recouvert par un pic plus petit, le résultat est généralement asymétrique. Le script DerivativePeakOverlapDemo (graphique) montre les dérivées 1 à 5 de deux gaussiennes qui se chevauchent où le deuxième pic est si petit et si proche qu'il est impossible de le discerner visuellement, mais encore une fois, la dérivée seconde montre clairement l'asymétrie en comparant les hauteurs des deux positifs pics. DerivativePeakOverlap.md détecte l'étendue minimale du chevauchement des pics par les dérivées première et seconde, en recherchant le point auquel deux pics sont visibles pour chaque séparation d'essai, il imprime la séparation, la résolution et le nombre de pics détectés dans la première et dérivées secondes.

Une autre utilisation courante de la différenciation est la détection de pics dans un signal. Il ressort clairement des propriétés de base décrites dans la section précédente que la dérivée première d'un pic a un passage par zéro descendant au maximum du pic, qui peut être utilisé pour localiser la valeur x du pic, comme indiqué à droite (scénario). S'il y a pas de bruit dans le signal, alors tout point de données qui a des valeurs inférieures des deux côtés sera un pic maximum. Mais il y a toujours au moins un peu de bruit dans les signaux expérimentaux réels, et cela provoquera de nombreux faux passages par zéro simplement à cause du bruit. Pour éviter ce problème, une technique courante lisse d'abord la dérivée première du signal, avant de rechercher les passages par zéro descendants, puis ne prend que les passages par zéro dont la pente dépasse un certain minimum prédéterminé (appelé "seuil de pente") à un point où l'amplitude du signal d'origine dépasse un certain minimum (appelé "seuil d'amplitude"). En ajustant soigneusement la largeur de lissage, le seuil de pente et le seuil d'amplitude, il est possible de détecter uniquement les pics souhaités sur une large gamme de largeurs de pic et d'ignorer les pics trop petits, trop larges ou trop étroits. De plus, comme le lissage peut déformer les signaux de crête, réduire les hauteurs de crête et augmenter les largeurs de crête, cette technique peut être étendue pour mesurer la position, la hauteur et la largeur de chaque crête par l'ajustement de courbe par les moindres carrés d'un segment de signal non lissé d'origine. près du sommet du pic (où le rapport signal sur bruit est généralement le meilleur). Ainsi, même si un lissage important est nécessaire pour fournir une discrimination fiable contre les pics de bruit, les paramètres de pic extraits par ajustement de courbe ne sont pas déformés et l'effet du bruit aléatoire dans le signal est réduit par ajustement de courbe sur plusieurs points de données dans le pic. Cette technique a été implémentée dans Matlab/Octave et dans des tableurs.

Spectroscopie dérivée

En spectroscopie, la différenciation des spectres est une technique largement utilisée, en particulier en spectrophotométrie d'absorption infrarouge, u.v.-visible, de fluorescence et de réflectance, appelée spectroscopie dérivée. Les méthodes dérivées ont été utilisées en spectroscopie analytique pour trois objectifs principaux :

(une) discrimination spectrale, en tant que technique d'empreinte qualitative pour accentuer les petites différences structurelles entre des spectres presque identiques
(b) amélioration de la résolution spectrale, en tant que technique permettant d'augmenter la résolution apparente des bandes spectrales qui se chevauchent afin de déterminer plus facilement le nombre de bandes et leurs longueurs d'onde
(c) l'analyse quantitative, en tant que technique de correction de l'absorption de fond non pertinente et en tant que moyen de faciliter l'analyse à plusieurs composants. (Parce que la différenciation est une technique linéaire, l'amplitude d'une dérivée est proportionnelle à l'amplitude du signal d'origine, ce qui permet des applications d'analyse quantitative employant l'une des techniques d'étalonnage standard). La plupart des spectrophotomètres commerciaux ont maintenant une capacité dérivée intégrée. Certains instruments sont conçus pour mesurer les dérivées spectrales optiquement, au moyen de conceptions à double longueur d'onde ou de modulation de longueur d'onde.

En raison du fait que l'amplitude du n e la dérivée d'un signal en forme de pic est inversement proportionnelle au n e puissance de la largeur du pic, la différenciation peut être utilisée comme un moyen général de discriminer les caractéristiques spectrales larges en faveur des composants étroits. C'est la base de l'application de la différenciation comme méthode de correction des signaux de fond dans l'analyse spectrophotométrique quantitative. Très souvent dans les applications pratiques de la spectrophotométrie à l'analyse d'échantillons complexes, les bandes spectrales de l'analyte (c'est-à-dire le composé à mesurer) sont superposées sur un large fond progressivement incurvé. L'arrière-plan de ce type peut être réduit par différenciation.

Réduction de l'effet de fond par différenciation. Cliquez pour agrandir

Ceci est illustré par la figure ci-dessus, qui montre un spectre UV simulé (absorbance vs longueur d'onde en nm), avec la courbe verte représentant le spectre de l'analyte pur et la ligne rouge représentant le spectre d'un mélange contenant l'analyte plus d'autres composés qui donner lieu à la grande absorption de fond en pente. Les premières dérivées de ces deux signaux sont affichées au centre, vous pouvez voir que la différence entre le spectre de l'analyte pur (vert) et le spectre du mélange (rouge) est réduite. Cet effet est considérablement renforcé dans la dérivée seconde, représentée à droite. Dans ce cas, les spectres de l'analyte pur et du mélange sont presque identiques. Pour que cette technique fonctionne, il est nécessaire que l'absorption de fond soit plus large (c'est-à-dire qu'elle ait une courbure plus faible) que le pic spectral de l'analyte, mais cela s'avère être une situation assez courante. En raison de leur plus grande discrimination dans un contexte général, les dérivés de second ordre (et parfois même d'ordre supérieur) sont souvent utilisés à de telles fins. Voir DerivativeDemo.m pour une démonstration Matlab/Octave de cette application.

On dit parfois (à tort) que la différenciation « augmente la sensibilité » de l'analyse. Vous pouvez voir à quel point il serait tentant de dire quelque chose comme ça en inspectant les trois chiffres ci-dessus, il semble que l'amplitude du signal des dérivées soit supérieure à celle du signal d'analyte d'origine (au moins graphiquement). Cependant, il n'est pas valable de comparer les amplitudes des signaux et leurs dérivées car elles avoir des unités différentes. Les unités du spectre d'origine sont l'absorbance, les unités de la dérivée première sont l'absorbance par nm et les unités de la dérivée seconde sont l'absorbance par nm 2 . Vous ne pouvez pas plus comparer l'absorbance à l'absorbance par nm que vous ne pouvez comparer les miles aux miles par heure. (Cela n'a aucun sens, par exemple, de dire qu'une vitesse de 30 milles à l'heure est supérieure à une distance de 20 milles.) Vous pouvez, cependant, comparez les rapport signal sur fond et le rapport signal sur bruit. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, il serait valable de dire que le rapport signal sur fond est augmenté dans les dérivées.

En gros, l'opposé de la différenciation est l'intégration, donc si on vous donne une dérivée première d'un signal, vous pouvez vous attendre à régénérer l'original (dérivée zéro) par intégration. Cependant, il y a un hic, le terme constant dans le signal d'origine (comme une ligne de base plate) est complètement perdu dans l'intégration de différenciation ne peut pas le restaurer. Donc, à proprement parler, la différenciation représente une perte nette d'informations, et donc la différenciation n'est utilisée que dans des situations où le terme constant dans le signal d'origine n'a pas d'intérêt.

Il existe plusieurs façons de mesurer l'amplitude d'un spectre dérivé pour une analyse quantitative : la valeur absolue de la dérivée à une longueur d'onde spécifique, la valeur d'une caractéristique spécifique (comme un maximum) ou la différence entre un maximum et un minimum. Une autre technique largement utilisée est la mesure du passage par zéro - en prenant des lectures d'amplitude dérivée à la longueur d'onde où un pic d'interférence croise le zéro sur l'axe y (amplitude). Dans tous ces cas, il est important de mesurer les étalons et les échantillons inconnus exactement de la même manière. De plus, étant donné que l'amplitude d'une dérivée d'un pic dépend fortement de sa largeur, il est important de contrôler les facteurs environnementaux susceptibles de modifier la subtilité de la largeur du pic spectral, comme la température.

L'une des utilisations les plus larges de la technique de traitement du signal dérivé dans le travail analytique pratique est la mesure de petites quantités de substances en présence de grandes quantités de matériaux potentiellement interférents. Dans de telles applications, il est courant que les signaux analytiques soient faibles, bruyants et superposés à de grands signaux de fond. La précision de la mesure est souvent dégradée par les décalages de la ligne de base d'un échantillon à l'autre en raison d'une absorption interférente à large bande non spécifique, d'un positionnement de cuvette non reproductible (cellule d'échantillon), de saletés ou d'empreintes digitales sur les parois de la cuvette, d'une correspondance de transmission de cuvette imparfaite et de la turbidité de la solution. Les décalages de la ligne de base de ces sources sont généralement soit indépendants de la longueur d'onde (blocage de la lumière causé par des bulles ou de grosses particules en suspension) soit présentent une faible dépendance à la longueur d'onde (turbidité des petites particules). Par conséquent, on peut s'attendre à ce que la différenciation aide en général à discriminer l'absorption pertinente de ces sources de changement de base. Un avantage évident de la suppression de l'arrière-plan large par différenciation est que variantes dans le bruit de fond, l'amplitude d'un échantillon à l'autre est également réduite. Cela peut entraîner une précision ou une mesure améliorée dans de nombreux cas, en particulier lorsque le signal d'analyte est faible par rapport au bruit de fond et s'il y a beaucoup de variabilité incontrôlée dans le bruit de fond. Un exemple de la capacité améliorée de détecter un composant de trace en présence d'une forte interférence de fond est illustré dans cette figure :

Le spectre de gauche montre un épaulement faible près du centre en raison d'une faible concentration de la substance à mesurer (par exemple, l'ingrédient actif dans une préparation pharmaceutique). Il est difficile de mesurer l'intensité de ce pic car il est masqué par le fort bruit de fond causé par d'autres substances dans l'échantillon. le dérivée quatrième de ce spectre est représenté à droite. Le bruit de fond a été presque complètement supprimé et le pic de l'analyte ressort clairement, facilitant la mesure.

Le spectre de gauche montre un épaulement faible près du centre en raison de l'analyte. Le rapport signal sur bruit est très bon dans ce spectre, mais malgré cela, le fond large et en pente obscurcit le pic et rend la mesure quantitative très difficile. La dérivée quatrième de ce spectre est représentée à droite. Le bruit de fond a été presque complètement supprimé et le pic de l'analyte ressort clairement, facilitant la mesure. Un cas encore plus dramatique est présenté ci-dessous. C'est essentiellement le même spectre que dans la figure ci-dessus, sauf que la concentration de l'analyte est dix fois plus faible. La question est : y a-t-il une quantité détectable d'analyte dans ce spectre ? C'est tout à fait impossible à dire à partir du spectre normal, mais l'inspection de la dérivée quatrième (à droite) montre que la réponse est Oui. Un certain bruit est clairement évident ici, mais néanmoins le rapport signal sur bruit est suffisamment bon pour une mesure quantitative raisonnable.


Semblable à la figure précédente, mais dans le cas où le pic est dix fois plus faible - si faible qu'il ne peut même pas être vu dans le spectre de gauche. La dérivée quatrième (à droite) montre qu'un pic est toujours là, mais que son amplitude est très réduite (notez la plus petite échelle de l'axe des y).

Cette utilisation de la différenciation des signaux est devenue largement utilisée en spectroscopie quantitative, en particulier pour le contrôle qualité dans l'industrie pharmaceutique. Dans cette application, l'analyte serait typiquement l'ingrédient actif dans une préparation pharmaceutique et les interférences de fond pourraient provenir de la présence de charges, d'émulsifiants, d'agents aromatisants ou colorants, de tampons, de stabilisants ou d'autres excipients. Bien entendu, dans les applications d'analyse de traces, il faut veiller à optimiser au maximum le rapport signal/bruit de l'instrument.

Bien qu'il soit finalement démontré que des techniques plus avancées telles que l'ajustement de courbes peuvent également très bien effectuer bon nombre de ces tâches de mesure quantitative, les techniques dérivées ont l'avantage d'une simplicité conceptuelle et mathématique et d'une manière graphique facile à comprendre de présenter les données.

Dérivés et bruit : l'importance du lissage

On dit souvent que "la différenciation augmente le bruit". C'est vrai, mais ce n'est pas le problème principal. En fait, le calcul de la dérivée première non lissée d'un ensemble de nombres aléatoires n'augmente son écart type que de la racine carrée de 2 , simplement en raison de la propagation habituelle des erreurs de somme ou de différence entre deux nombres. A titre d'exemple, l'écart type (std) des nombres générés par la fonction Matlab/Octave randn() est 1.0 et sa première dérivée std(deriv1(randn(taille (1:10000))))) équivaut à environ 1,4. Mais même un peu de lissage appliqué à la dérivée réduira considérablement cet écart type, par ex. std(rapide(dérivé1(randn(taille (1:10000))),2,3)) équivaut à environ 0,4. Plus important est le fait que le rapport signal sur bruit d'un non lissé dérivée est presque toujours beaucoup plus faible (plus pauvre) que celle du signal d'origine, principalement parce que l'amplitude numérique de la dérivée est généralement beaucoup plus petite (comme vous pouvez le constater par vous-même dans tous les exemples sur cette page) . Mais le lissage est toujours utilisé dans toute application pratique pour contrôler ce problème avec optimale lissage, le rapport signal/bruit d'une dérivée peut en fait être plus grand que l'original non lissé. Pour une application réussie de la différenciation dans les applications analytiques quantitatives, il est essentiel d'utiliser la différenciation en combinaison avec un lissage suffisant, afin d'optimiser le rapport signal sur bruit. Ceci est illustré sur la figure de gauche. (Code Matlab/Octave pour cette figure.) La fenêtre 1 montre une bande gaussienne avec une petite quantité de bruit blanc ajouté. Les fenêtres 2, 3 et 4 affichent la première dérivée de ce signal avec des largeurs lisses croissantes. Comme tu peux le voir, sans lissage suffisant, le rapport signal/bruit de la dérivée peut être sensiblement plus faible que le signal d'origine. Cependant, avec des quantités adéquates de lissage, le rapport signal/bruit de la dérivée lissée peut être meilleur que celui de l'original non lissé. Cet effet est encore plus frappant dans la dérivée seconde, comme illustré à droite (code Matlab/Octave pour cette figure). Dans ce cas, le rapport signal/bruit de la dérivée seconde non lissée (Fenêtre 2) est si faible que vous ne pouvez même pas voir le signal visuellement, mais la dérivée seconde lissée semble correcte. La différenciation n'ajoute pas réellement de bruit au signal s'il n'y avait aucun bruit dans le signal d'origine, alors les dérivés n'auraient pas non plus de bruit (exception : voir l'annexe V).

Ce qui est particulièrement intéressant à propos du bruit dans ces signaux dérivés, cependant, c'est leur "couleur". Ce bruit n'est pas blanc c'est plutôt bleu - c'est-à-dire qu'il a beaucoup plus de puissance à hautes fréquences que le bruit blanc. La conséquence de ceci est que le bruit dans le signal différencié est facilement réduit considérablement par lissage, comme démontré ci-dessus.

Peu importe que le bon fonctionnement soit appliqué avant ou après la différenciation. Ce qui est important, cependant, c'est la nature du lissage, son rapport de lissage (rapport de la largeur de lissage à la largeur du pic d'origine) et le nombre de fois où le signal est lissé. Les valeurs optimales du rapport de lissage pour les signaux dérivés sont d'environ 0,5 à 1,0. Pour une dérivée première, deux des applications d'un simple lissage rectangulaire (ou une application d'un lissage triangulaire) sont suffisantes. Pour une dérivée seconde, Trois des applications d'un simple lissage rectangulaire ou deux applications d'un lissage triangulaire suffisent. La règle générale est : pour le n e dérivée, utilisez au moins n+1 applications d'un rectangle lisse. (Le programme de traitement du signal Matlab iSignal fournit automatiquement le type de lissage souhaité pour chaque ordre dérivé).

Une comparaison quantitative du lissage des dérivées est effectuée par le script MultiPeakDerivativeOptimization.m, qui analyse les dérivées secondes des pics gaussiens lissés par les types de lissage moyenne mobile, triangulaire, gaussien et Suavity-Golay (graphique).

Si les largeurs de pic varient considérablement à travers l'enregistrement du signal - par exemple, si les pics s'élargissent régulièrement à mesure que la valeur x augmente - alors il peut être utile d'utiliser un lissage segmenté adaptatif, qui fait varier la largeur lisse à travers le signal.

Le lissage des signaux dérivés entraîne généralement une atténuation substantielle de l'amplitude de la dérivée dans la figure de droite ci-dessus, l'amplitude de la dérivée la plus fortement lissée (dans la fenêtre 4) est bien inférieure à sa version moins lissée (fenêtre 3). Cependant, ce ne sera pas un problème dans analyse quantitative applications, tant que la courbe standard (analytique) est préparée en utilisant exactement la même procédure de dérivée, de lissage et de mesure que celle appliquée aux échantillons inconnus. Étant donné que la différenciation et le lissage sont tous deux des techniques linéaires, l'amplitude d'une dérivée lissée est exactement proportionnelle à l'amplitude du signal d'origine, ce qui permet des applications d'analyse quantitative utilisant l'une des techniques d'étalonnage standard. Tant que vous appliquez les mêmes techniques de traitement du signal aux standards ainsi qu'aux échantillons, tout fonctionne.

En raison des différents types et degrés de lissage pouvant être incorporés dans le calcul de la différenciation numérique des signaux expérimentaux, il est difficile de comparer les résultats de différents instruments et expériences à moins que les détails de ces calculs ne soient connus. Dans les instruments commerciaux et les progiciels, ces détails peuvent très bien être cachés. Cependant, si vous pouvez obtenir à la fois le signal original (dérivée zéro), ainsi que la version dérivée et/ou lissée à partir du même instrument ou logiciel, alors la technique de déconvolution de Fourier, qui sera discutée plus loin, peut être utilisée pour découvrir et dupliquer les calculs cachés sous-jacents.

Fait intéressant, négliger de lisser un dérivé était finalement responsable de l'échec du premier vaisseau spatial du programme Mariner de la NASA le 22 juillet 1962, qui a été signalé dans les "11 bogues logiciels infâmes" d'InfoWorld. Dans son livre de 1968 "La promesse de l'espace", Arthur C. Clarke a décrit la mission comme "détruite par le trait d'union le plus cher de l'histoire". Le "trait d'union" était en fait une barre en exposant sur le symbole de la vitesse (la première dérivée de la position), écrite à la main dans un cahier. Une barre supérieure signifie conventionnellement un faire la moyenne ou alors lissage fonction, donc la formule devrait avoir calculé le lissé valeur de la dérivée temporelle de la position. Sans la fonction de lissage, même des variations mineures rendraient sa dérivée très bruyante et déclencheraient prématurément les boosters correctifs, rendant le vol de la fusée instable.

La première vidéo de 13 secondes et 1,5 Mo (SmoothDerivative2.wmv ) démontre les énormes améliorations du rapport signal/bruit qui sont possibles lors du lissage des signaux dérivés, dans ce cas une 4ème dérivée.

La deuxième vidéo, 17 secondes, 1,1 Mo, (DerivativeBackground2.wmv ) montre la mesure d'un pic faible enfoui dans un fond fortement incliné. Au début de cette brève vidéo, l'amplitude (Amp) du pic varie entre 0 et 0,14, mais le fond est si fort que le pic, situé à x = 500, est à peine visible. Ensuite, la dérivée 4 (Order=4) est calculée et l'expansion d'échelle (Scale) est augmentée, avec une largeur lisse (Smooth) de 88. Enfin, l'amplitude (Amp) du pic est à nouveau variée sur la même plage, mais maintenant les changements dans le signal sont maintenant tout à fait perceptibles et facilement mesurables. (Ces démonstrations ont été créées dans Matlab 6.5. Si vous avez accès à ce logiciel, vous pouvez télécharger un ensemble de fichiers m Matlab Interactive Derivative (15 Ko), InteractiveDerivative.zip afin que vous puissiez expérimenter les variables à volonté et essayer cette technique sur vos propres signaux).

La différenciation de analogiquesignaux peut être effectué avec un simple circuit amplificateur opérationnel. Deux ou plusieurs de ces circuits peuvent être montés en cascade pour obtenir des dérivées du second ordre et d'ordre supérieur. Les mêmes problèmes de bruit décrits ci-dessus s'appliquent également à la différenciation analogique, nécessitant l'utilisation de circuits de filtrage passe-bas qui sont analogues au lissage.

SPECTRUM, l'application gratuite de traitement du signal pour Macintosh OS8, comprend des fonctions de dérivée première et seconde, qui peuvent être appliquées successivement pour calculer des dérivées de n'importe quel ordre.

Différenciation dans les feuilles de calcul

Les opérations de différenciation telles que décrites ci-dessus peuvent être facilement effectuées dans des feuilles de calcul telles qu'Excel ou OpenOffice Calc. La dérivée et les opérations de lissage requises peuvent être effectuées par la méthode de décalage et de multiplication décrite dans la section sur le lissage. En principe, il est possible de combiner n'importe quel degré de différenciation et de lissage en un seul ensemble de coefficients de décalage et de multiplication (comme illustré ici), mais il est plus flexible et plus facile à ajuster si vous calculez les dérivées et chaque étape de lissage séparément dans colonnes successives. Ceci est illustré par DerivativeSmoothing.ods pour OpenOffice Calc et DerivativeSmoothing.xls pour Excel (image écran), qui lisse les données et calcule la dérivée première de Y (colonne B) par rapport à X (colonne UNE) , applique ensuite ce processus de lissage et de différenciation successivement pour calculer les dérivées seconde et troisième lissées. Les mêmes coefficients de lissage (en ligne 5, Colonnes K à travers AA) sont appliqués successivement pour chaque étape de différenciation, vous pouvez entrer n'importe quel ensemble de nombres ici (de préférence symétrique par rapport au nombre central dans la colonne S). Vous pouvez taper ou coller vos propres données dans la colonne UNE et B (X et Y), lignes 8 à 263.

DerivativeSmoothingWithNoise.xlsx (graphique) démontre l'effet dramatique du lissage sur le rapport signal/bruit des dérivés sur un signal bruyant. Il utilise le même signal que DerivativeSmoothing.xls, mais ajoute un bruit blanc simulé aux données Y. Vous pouvez contrôler la quantité de bruit ajouté (cellule D5).

Un autre exemple d'application dérivée est la feuille de calcul SecondDerivativeXY2.xlsx (graphique), qui démontre la localisation et la mesure des changements dans la dérivée seconde (une mesure de courbure ou d'accélération) d'un signal qui change dans le temps. Cette feuille de calcul montre l'augmentation apparente du bruit causée par la différenciation et la mesure dans laquelle le bruit peut être réduit par lissage (dans ce cas par deux passages d'un lissage triangulaire à 5 points). La dérivée seconde lissée montre un grand pic au point auquel l'accélération change (à x=30) et des plateaux de chaque côté montrant l'amplitude de l'accélération avant et après le changement (y=2 et 4, respectivement).

Différenciation sous Matlab et Octave

Détection de pic. Le code le plus simple pour trouver des pics dans x, y les ensembles de données recherchent simplement chaque oui valeur inférieure oui valeurs des deux côtés (allpeaks.m). Une approche alternative consiste à utiliser la dérivée première pour trouver tous les maxima en localisant les points de passage par zéro, c'est-à-dire les points auxquels la dérivée première "d" (calculée par derivxy.m) passe de positive à négative. Dans cet exemple, la fonction « signe » est une fonction intégrée qui renvoie 1 si l'élément est supérieur à zéro, 0 s'il est égal à zéro et -1 s'il est inférieur à zéro. La routine imprime la valeur de x et y à chaque passage par zéro :

Si les données sont bruyantes, de nombreux faux passages à zéro seront signalés, le lissage des données réduira cela. Si les données sont peu échantillonnées, une valeur plus précise pour la position du pic (valeur de l'axe des x au passage par zéro) peut être obtenue en interpolant entre le point avant et le point après le passage par zéro à l'aide de Matlab/Octave « interp1 ». une fonction: interp1([d(j) d(j+1)],[x(j) x(j+1)],0)

ProcessSignal.m, une fonction de ligne de commande Matlab/Octave qui effectue le lissage et la différenciation sur l'ensemble de données de séries temporelles x,y (vecteurs de colonne ou de ligne). Tapez "aide ProcessSignal". Renvoie le signal traité sous forme de vecteur ayant la même forme que x, quelle que soit la forme de y. La syntaxe est Processed=ProcessSignal(x, y, DerivativeMode, w, type, ends, Sharpen, factor1, factor2, SlewRate, MedianWidth)


DérivéeDemo.m (illustré ci-dessus) est une fonction de démonstration Matlab/Octave autonome qui utilise ProcessSignal.m et plotit.m pour démontrer une application de différenciation à l'analyse quantitative d'un pic enfoui dans un arrière-plan instable (comme dans diverses formes de spectroscopie) . L'objectif est de dériver une mesure de l'amplitude de crête qui varie linéairement avec l'amplitude de crête réelle et est très peu affectée par le fond et le bruit. Pour l'exécuter, tapez simplement DerivativeDemo à l'invite de commande. Vous pouvez modifier plusieurs variables internes (par exemple, Noise, BackgroundAmplitude) pour rendre le problème plus difficile ou plus facile. Notez que, malgré le fait que le ordre de grandeur de la dérivée semble être numériquement plus petit que le signal d'origine (car il a des unités différentes), le rapport signal sur bruit de la dérivée est mieux et est beaucoup moins affectée par l'instabilité de fond. (Temps d'exécution : 0,065 seconde en Matlab 2,2 secondes en Octave).

iSignal (illustré ci-dessus) est une fonction interactive de traitement du signal polyvalente pour Matlab qui inclut la différenciation et le lissage des signaux de séries temporelles, jusqu'à la dérivée 5, incluant automatiquement le type de lissage requis. Des frappes simples vous permettent d'ajuster les paramètres de lissage (type de lissage, largeur et traitement des extrémités) tout en observant l'effet sur votre signal de manière dynamique. Dans l'exemple ci-dessus, une série de trois pics à x = 100, 250 et 400, avec des hauteurs dans le rapport 1:2:3, sont enfouis dans un fort fond incurvé, les deuxième et quatrième dérivées lissées sont calculées pour supprimer cela Contexte. Consultez le code ici ou téléchargez le fichier ZIP avec des exemples de données à tester. (La version 2 d'iSignal, novembre 2011, calcule les dérivées par rapport au vecteur de l'axe des x, en corrigeant les intervalles de l'axe des x non uniformes). Malheureusement, iSignal ne fonctionne pas actuellement dans Octave.

Ces instructions génèrent la dérivée 4 d'un pic gaussien et l'affichent dans iSignal. Vous devrez télécharger isignal.m, gaussian.m et deriv4.m.

Le signal est principalement du bruit bleu (à cause du bruit blanc différencié) à moins que vous ne le lissiez soigneusement. Utilisez le UNE et Z touches pour augmenter et diminuer la largeur lisse et la S pour faire défiler les types de lissage disponibles. Astuce : utilisez le lissage gaussien et continuez à augmenter la largeur du lissage.

Le script « iSignalDeltaTest » démontre la réponse en fréquence des fonctions de lissage et de différenciation d'iSignal en les appliquant à une fonction delta. Modifiez le type de lissage, la largeur de lissage et l'ordre dérivé et observez l'évolution du spectre de puissance.

Temps réel la différenciation dans Matlab est discutée dans l'annexe Y .


Lumière parasite aléatoire

Considérez d'abord la quantité de lumière qu'il y a pour commencer à la longueur d'onde principale d'intérêt, puis comparez-la à d'autres longueurs d'onde qui peuvent être présentes sous forme de diffusion.

Rapport signal/bruit optique dans un spectromètre

Pour déterminer le rapport signal sur bruit, chacune des composantes doit d'abord être quantifiée.

La Quantification du Signal,vous

Flux entrant dans l'instrument (ΦT):
Ses = surface de la fente d'entrée = (hw)
S'es = zone de la fente de sortie = (h’w’)
BT = rayonnement total de la lumière entrant dans l'instrument
gUNE = surface totale éclairée de la grille

Ensuite, à partir des équations (53), (50) et (51), le flux total entrant dans l'instrument est donné par :

Cependant, il existe de nombreux cas où la taille de l'image de la fente d'entrée est plus grande que la fente de sortie en raison d'aberrations d'image. Les pertes lumineuses de ce type sont des « pertes géométriques » et peuvent être caractérisées par la transmission à travers le système Tg.

Le flux à une longueur d'onde donnée collecté par le détecteur est donné par :

où T est la transmission géométrique à la longueur d'onde .


Contenu

En général, l'objectif de la déconvolution est de trouver la solution F d'une équation de convolution de la forme :

D'habitude, h est un signal enregistré, et F est un signal que nous souhaitons récupérer, mais qui a été convolué avec une fonction de filtre ou de distorsion g, avant de l'enregistrer. La fonction g pourrait représenter la fonction de transfert d'un instrument ou une force motrice qui a été appliquée à un système physique. Si nous savons g, ou au moins connaître la forme de g, alors nous pouvons effectuer une déconvolution déterministe. Cependant, si nous ne savons pas g à l'avance, alors nous devons l'estimer. Cela se fait le plus souvent à l'aide de méthodes d'estimation statistique.

Dans les mesures physiques, la situation est généralement plus proche de

Dans ce cas ε est le bruit qui est entré dans notre signal enregistré. Si un signal ou une image bruité est supposé être sans bruit, l'estimation statistique de g sera incorrect. À son tour, l'estimation de ƒ sera également incorrect. Plus le rapport signal sur bruit est faible, plus l'estimation du signal déconvolué sera mauvaise. C'est la raison pour laquelle le filtrage inverse du signal n'est généralement pas une bonne solution. Cependant, s'il existe au moins une certaine connaissance du type de bruit dans les données (par exemple, le bruit blanc), l'estimation de ƒ peut être amélioré grâce à des techniques telles que la déconvolution de Wiener.

La déconvolution est généralement effectuée en calculant la transformée de Fourier du signal enregistré h et la fonction de distorsion (en termes généraux, elle est connue sous le nom de fonction de transfert) g. La déconvolution est alors réalisée dans le domaine fréquentiel (en l'absence de bruit) en utilisant :

F, g, et H sont les transformées de Fourier de F, g, et h respectivement. Enfin, la transformée de Fourier inverse de la fonction F est pris pour trouver le signal déconvolué estimé F.

Sismologie Modifier

Le concept de déconvolution a eu une application précoce en sismologie de réflexion. En 1950, Enders Robinson était un étudiant diplômé du MIT. Il a travaillé avec d'autres au MIT, tels que Norbert Wiener, Norman Levinson et l'économiste Paul Samuelson, pour développer le « modèle convolutif » d'un sismogramme de réflexion. Ce modèle suppose que le sismogramme enregistré s(t) est la convolution d'une fonction de réflectivité terrestre e(t) et une ondelette sismique w(t) à partir d'une source ponctuelle, où t représente le temps d'enregistrement. Ainsi, notre équation de convolution est

Le sismologue s'intéresse à e, qui contient des informations sur la structure de la Terre. Par le théorème de convolution, cette équation peut être transformée de Fourier en

dans le domaine fréquentiel, où est la variable de fréquence. En supposant que la réflectivité est blanche, nous pouvons supposer que le spectre de puissance de la réflectivité est constant et que le spectre de puissance du sismogramme est le spectre de l'ondelette multiplié par cette constante. Ainsi,

Si nous supposons que l'ondelette est à phase minimale, nous pouvons la récupérer en calculant l'équivalent de phase minimale du spectre de puissance que nous venons de trouver. La réflectivité peut être récupérée en concevant et en appliquant un filtre de Wiener qui façonne l'ondelette estimée à une fonction delta de Dirac (c'est-à-dire un pic). Le résultat peut être vu comme une série de fonctions delta mises à l'échelle et décalées (bien que ce ne soit pas mathématiquement rigoureux) :

En pratique, étant donné que nous avons affaire à des ensembles de données bruités, à bande passante finie, à longueur finie et échantillonnés de manière discrète, la procédure ci-dessus ne donne qu'une approximation du filtre requis pour déconvoluer les données. Cependant, en formulant le problème comme la solution d'une matrice de Toeplitz et en utilisant la récursivité de Levinson, nous pouvons estimer relativement rapidement un filtre avec la plus petite erreur quadratique moyenne possible. On peut aussi faire une déconvolution directement dans le domaine fréquentiel et obtenir des résultats similaires. La technique est étroitement liée à la prédiction linéaire.

Optique et autre imagerie Modifier

En optique et en imagerie, le terme « déconvolution » est spécifiquement utilisé pour désigner le processus d'inversion de la distorsion optique qui a lieu dans un microscope optique, un microscope électronique, un télescope ou un autre instrument d'imagerie, créant ainsi des images plus claires. Elle est généralement effectuée dans le domaine numérique par un algorithme logiciel, dans le cadre d'une suite de techniques de traitement d'images microscopiques. La déconvolution est également pratique pour affiner les images qui souffrent de mouvements rapides ou de tremblements lors de la capture. Les premières images du télescope spatial Hubble ont été déformées par un miroir défectueux et ont été affinées par déconvolution.

La méthode habituelle consiste à supposer que le chemin optique à travers l'instrument est optiquement parfait, convolué avec une fonction d'étalement ponctuelle (PSF), c'est-à-dire une fonction mathématique qui décrit la distorsion en termes de cheminement d'une source ponctuelle théorique de lumière (ou autres ondes) traverse l'instrument. [4] Habituellement, une telle source ponctuelle contribue à une petite zone de flou dans l'image finale. Si cette fonction peut être déterminée, il s'agit alors de calculer sa fonction inverse ou complémentaire, et de convoluer l'image acquise avec celle-ci. Le résultat est l'image originale non déformée.

En pratique, il est impossible de trouver la vraie PSF, et on en utilise généralement une approximation, calculée théoriquement [5] ou basée sur une estimation expérimentale en utilisant des sondes connues. L'optique réelle peut également avoir différentes PSF à différents emplacements focaux et spatiaux, et la PSF peut être non linéaire. La précision de l'approximation de la PSF dictera le résultat final. Différents algorithmes peuvent être utilisés pour donner de meilleurs résultats, au prix d'une plus grande intensité de calcul. Étant donné que la convolution d'origine rejette les données, certains algorithmes utilisent des données supplémentaires acquises aux points focaux proches pour compenser une partie des informations perdues. La régularisation dans les algorithmes itératifs (comme dans les algorithmes de maximisation des attentes) peut être appliquée pour éviter des solutions irréalistes.

Lorsque la PSF est inconnue, il peut être possible de la déduire en essayant systématiquement différentes PSF possibles et en évaluant si l'image s'est améliorée. Cette procédure s'appelle déconvolution aveugle. [4] La déconvolution aveugle est une technique de restauration d'images bien établie en astronomie, où la nature ponctuelle des objets photographiés expose la PSF, la rendant ainsi plus réalisable. Il est également utilisé en microscopie à fluorescence pour la restauration d'images et en imagerie spectrale de fluorescence pour la séparation spectrale de plusieurs fluorophores inconnus. L'algorithme itératif le plus courant à cet effet est l'algorithme de déconvolution de Richardson-Lucy, la déconvolution de Wiener (et les approximations) sont les algorithmes non itératifs les plus courants.

Pour certains systèmes d'imagerie spécifiques tels que les systèmes térahertz pulsés par laser, la PSF peut être modélisée mathématiquement. [7] En conséquence, comme le montre la figure, la déconvolution de la PSF modélisée et de l'image térahertz peut donner une représentation à plus haute résolution de l'image térahertz.

Radioastronomie Modifier

Lors de la synthèse d'images en radio-interférométrie, un type particulier de radioastronomie, une étape consiste à déconvoluer l'image produite avec le "faisceau sale", qui est un nom différent pour la fonction d'étalement des points. Une méthode couramment utilisée est l'algorithme CLEAN.

Spectres d'absorption Modifier

La déconvolution a été largement appliquée aux spectres d'absorption. [8] L'algorithme de Van Cittert (article en allemand) peut être utilisé. [9]

Aspects de la transformée de Fourier Modifier

La déconvolution correspond à la division dans le co-domaine de Fourier. Cela permet d'appliquer facilement la déconvolution avec des données expérimentales soumises à une transformée de Fourier. Un exemple est la spectroscopie RMN où les données sont enregistrées dans le domaine temporel, mais analysées dans le domaine fréquentiel. La division des données du domaine temporel par une fonction exponentielle a pour effet de réduire la largeur des raies lorenziennes dans le domaine fréquentiel.


Signal-bruit en angström inverse pour la spectroscopie ? - Astronomie

Les astronomes décrivent souvent les incertitudes en termes d'erreur fractionnaire, par ex. l'amplitude de l'incertitude divisée par l'amplitude de la grandeur étant souvent mesurée, l'inverse de celle-ci, appelé rapport signal sur bruit, est utilisé. Étant donné une estimation du nombre de photons attendus d'un objet dans une observation, nous pouvons calculer le rapport signal sur bruit :

qui est l'inverse de l'erreur fractionnaire prédite ( N / S ).

Considérons un objet avec un flux de photons observé (par unité de surface et de temps, par exemple à partir de l'équation de comptage ci-dessus), S , conduisant à un signal, S = S ′ Tt où T est la surface du télescope et t est le temps d'exposition. Dans le cas le plus simple, la seule source de bruit est la statistique de Poisson de la source, auquel cas :

En d'autres termes, le rapport signal/bruit augmente en tant que racine carrée de la luminosité de l'objet, de la zone du télescope, de l'efficacité ou du temps d'exposition. A noter que S est directement observable, on peut donc calculer le S/N pour une observation sans connaître la zone du télescope ni le temps de pose ! Nous venons de décomposer S afin que vous puissiez voir spécifiquement la dépendance de la zone du télescope et/ou du temps d'exposition.

Un cas plus réaliste inclut le bruit apporté par les statistiques de Poisson de la lumière de « fond » (plus sur la nature physique de celle-ci plus tard), B ′ , qui a des unités de flux par zone sur le ciel (c'est-à-dire une luminosité de surface) notez que cela est aussi généralement donné en grandeurs.

La quantité de fond dans notre mesure dépend de la façon dont nous choisissons de faire la mesure (combien de surface du ciel nous observons). Supposons que nous utilisions simplement une ouverture avec une aire, A , donc le nombre total de bruit de fond observé est

Encore une fois, B Tt est la quantité directement observable, mais nous la divisons en quantités dont elle dépend pour comprendre quels facteurs sont importants pour déterminer S / N .

Le nombre total de photons observés, O , est

La variance des totaux observés, d'après les statistiques de Poisson, est :

Pour obtenir le signal souhaité de l'objet uniquement, nous devrons mesurer séparément le signal total et le signal de fond pour estimer :

où < B > est une estimation que nous avons obtenue de la luminosité de la surface du fond. Le bruit dans la mesure est

où l'approximation est précise si l'arrière-plan est déterminé avec une grande précision, ce que l'on peut faire si l'on mesure l'arrière-plan sur une grande surface, obtenant ainsi un grand nombre de décomptes de fond (avec en conséquence une petite erreur fractionnaire dans la mesure).

Cela conduit à une forme commune de l'équation du bruit :

En sortant de la dépendance du temps d'exposition et de la zone du télescope, voici :

Dans le cas à signal limité, >B^prime A$ --> S > > B A , on obtient

Dans le cas limité en arrière-plan, >S^prime$ --> B ′ A > > S ′ , et

Au fur et à mesure que l'on passe à des objets plus faibles, le S/N diminue et il diminue plus rapidement lorsque vous êtes limité en arrière-plan. Cela illustre l'importance des sites de ciel noir, ainsi que l'importance d'une bonne qualité d'image.

Considérons deux télescopes de surface collectrice, T 1 et T 2 . Si nous observons pour le même temps d'exposition sur chacun et que nous voulons savoir à quel point nous pouvons voir plus faiblement avec le plus grand télescope à un S/N donné, nous trouvons :

pour le cas à signal limité, mais

pour le cas à fond limité.

En plus des incertitudes des statistiques de Poisson (bruit statistique), il peut y avoir des termes supplémentaires provenant des incertitudes instrumentales. Un exemple courant de ceci qui s'applique aux détecteurs CCD est le bruit de lecture, qui est un bruit additif (avec une moyenne nulle !) qui provient du détecteur et est indépendant du niveau du signal. Pour un détecteur dont le bruit de lecture est caractérisé par rn ,

si une mesure est faite dans un seul pixel. Si un objet est réparti sur N pix pixels, alors

Pour un grand σ rn , le comportement est le même que le cas limité de fond. Cela montre clairement que si vous avez du bruit de lecture, la qualité de l'image (et/ou une optique appropriée pour empêcher un objet de couvrir trop de pixels) est importante pour maximiser le S/N. Il est également clair qu'il est essentiel d'avoir un bruit de lecture minimum pour les applications à faible bruit de fond (par exemple, la spectroscopie).

Il existe d'autres termes supplémentaires possibles dans l'équation du bruit, résultant de choses comme le courant d'obscurité, le bruit de numérisation, les incertitudes dans la détermination du ciel, les incertitudes de la technique photométrique, etc. (nous en discuterons plus tard), mais dans la plupart des applications, les trois sources discutées jusqu'à présent &ndash signalent le bruit, le bruit de fond et le bruit de lecture &ndash sont les sources de bruit dominantes.

Notez les applications où l'on est susceptible d'être dominé par le signal, le bruit de fond et le bruit de lecture.

Pourquoi les trois termes d'incertitude dans l'équation du bruit sont-ils ajoutés en quadrature ? La quantité mesurée (S) est une somme de + $ --> S + B - < B > + < R >, où < R > = 0 puisque le bruit de lecture a une moyenne nulle. L'incertitude dans une série sommée est calculée en ajoutant les incertitudes individuelles en quadature dans l'équation ci-dessus, nous avons négligé l'incertitude dans < B >. Pour comprendre pourquoi ils s'additionnent en quadrature, considérons la propagation générale des erreurs.

Davantage de raisons d'envisager la propagation d'erreurs : disons que nous voulons effectuer des calculs (par exemple, calibrage, conversion d'unités, moyennage, conversion en magnitudes, calcul de couleurs, etc.) à partir de ces observations : nous devons être en mesure d'estimer les incertitudes dans les quantités calculées qui dépendent de nos quantités mesurées.

Considérez ce qui se passe si vous avez plusieurs quantités connues avec des distributions d'erreurs connues et que vous les combinez en une nouvelle quantité : nous souhaitons savoir quelle est l'incertitude dans la nouvelle quantité.

La question est qu'est-ce que σ x si nous savons u , σ v , etc.?

Tant que les incertitudes sont faibles :

Le dernier terme est la covariance , qui se rapporte au fait que les incertitudes sont corrélées .

Si les incertitudes ne sont pas corrélées, alors σ uv = 0 car il y a une chance égale d'obtenir des signes opposés sur v i pour tout u i donné. Lorsque vous calculez des incertitudes, assurez-vous de considérer s'il existe des erreurs corrélées ! S'il y en a, vous pourrez peut-être reformuler les quantités pour qu'elles aient des erreurs indépendantes : cela peut être très utile !

Exemples d'erreurs non corrélées :

Dans ce cas, on dit que les erreurs s'ajoutent en quadrature .

Pour les logs en base 10, notez que log x = log e ln x

Lors de la propagation des erreurs, même si vous pouvez calculer les variances dans les nouvelles variables, la distribution des incertitudes dans les nouvelles variables n'est pas, en général, la même que la distribution des incertitudes dans les variables d'origine, par ex. si les incertitudes des variables individuelles sont normalement distribuées, les incertitudes des variables de sortie ne le sont pas nécessairement.

Cependant, lorsque deux variables sont ajoutées, la sortie est normalement distribuée.

Nous avons couvert les incertitudes dans les mesures individuelles. Ensuite, nous passons aux mesures de moyenne. Supposons que nous ayons plusieurs observations et que nous voulions la meilleure estimation de la moyenne et de la variance de la population, par ex. plusieurs mesures de la luminosité stellaire. Ici, nous allons définir la meilleure estimation de la moyenne comme la valeur qui maximise la probabilité que notre estimation soit égale à la vraie moyenne de la population parente.

Pour des incertitudes égales, cette estimation donne simplement notre expression normale pour la moyenne de l'échantillon :

En utilisant la propagation d'erreur, l'estimation de l'incertitude dans la moyenne de l'échantillon est donnée par :

Mais que se passe-t-il si les incertitudes sur chaque observation ne sont pas égales, disons par exemple que nous avons des observations faites avec plusieurs temps d'exposition différents ? Ensuite, la détermination optimale de la moyenne utilise a :

et l'incertitude estimée de cette valeur est donnée par :

où les i sont des poids/erreurs individuels (les gens parlent souvent du poids d'une observation, c'est-à-dire : un grand poids signifie une petite incertitude.

Il s'agit d'un résultat standard pour déterminer les moyennes d'échantillons à partir d'un ensemble d'observations avec des poids différents.

Cependant, il peut parfois y avoir une subtilité dans l'application de cette formule, qui a à voir avec la question : comment fait-on pour choisir les poids/erreurs, σ i ? Nous savons que nous pouvons estimer σ en utilisant les statistiques de Poisson pour un taux de comptage donné, mais rappelez-vous qu'il s'agit d'une variance d'échantillon (qui peut être basée sur une seule observation !) et non de la vraie variance de la population. Cela peut conduire à des biais.

Considérez les observations d'une étoile faites sur trois nuits, avec des mesures de 40, 50 et 60 photons. Il est clair que l'observation moyenne est de 50 photons. Cependant, méfiez-vous d'être piégé par vos estimations de sous-entendus. A partir de chaque observation seule, vous estimeriez les incertitudes de , , et . Si vous branchez ces estimations d'incertitude dans un calcul de la moyenne pondérée, vous obtiendrez un taux moyen de 48,64 !

En utilisant les estimations individuelles des variances, nous biaiserons les valeurs vers des taux inférieurs, car ceux-ci auront estimé un S/B plus élevé.

Notez qu'il est assez évident à partir de cet exemple que vous devez simplement pondérer toutes les observations de manière égale. Cependant, notez que ce n'est certainement pas toujours la bonne chose à faire. Par exemple, considérons la situation dans laquelle vous avez trois expositions de durées d'exposition différentes et vous calculez le taux de photons (comptes/s). Ici, vous voudrez probablement donner plus de poids aux expositions plus longues (au moins, si elles sont limitées en signal ou en arrière-plan). Dans ce cas, vous ne voulez pas non plus utiliser les estimations d'incertitude individuelles ou vous introduirez un biais. Il y a une solution simple ici aussi : il suffit de pondérer les observations par le temps d'exposition. Cependant, bien que cela fonctionne bien pour les incertitudes de Poisson (variances proportionnelles au taux de comptage), ce n'est pas strictement correct s'il existe également des incertitudes instrumentales qui ne s'adaptent pas au temps d'exposition. Par exemple, la présence de bruit de lecture peut avoir cet effet si toutes les expositions sont dominées par le bruit de lecture, alors on voudrait les pondérer de manière égale, si le bruit de lecture domine les expositions les plus courtes mais pas les plus longues, une fois on voudrait pondérer les expositions les plus longues même plus élevé que prévu pour les ratios de temps d'exposition ! La seule façon de moyenner correctement les mesures dans ce cas est d'estimer une moyenne d'échantillon, puis d'utiliser cette valeur mise à l'échelle des temps d'exposition appropriés comme entrée pour les incertitudes de Poisson.

Autre subtilité : faire la moyenne des comptes et convertir en magnitudes n'est pas la même chose que faire la moyenne des magnitudes !

Bien qu'à partir de considérations S / N, on puisse déterminer le nombre requis de comptes dont vous avez besoin (temps d'exposition) pour faire votre science, lors de l'observation, il faut également considérer la question de savoir si ce temps doit être collecté en une ou plusieurs expositions, c'est-à-dire combien de temps devraient durer les expositions individuelles. Il y a plusieurs raisons pour lesquelles on pourrait imaginer qu'il est plus agréable d'avoir une séquence d'expositions plus courtes plutôt qu'une seule exposition plus longue (par exemple, suivi, surveillance des conditions photométriques, rejet des rayons cosmiques, problèmes de saturation), nous devons donc considérer sous quelle les circonstances faisant cela entraînent un S/N plus faible.

Considérons l'objet avec un flux de photons S , une luminosité de surface de fond B ′ , et un détecteur avec un bruit de lecture σ rn . Une seule exposition courte de temps t a une variance :

Si N expositions sont additionnées, la variance résultante sera

Si une seule pose longue de longueur Nt est prise, on obtient

Le rapport des bruits, ou le rapport inverse du S/N (puisque le signal total mesuré est le même dans les deux cas), est

La seule différence réside dans le terme de bruit de lecture ! Dans les régimes limités en signal ou en bruit de fond, les expositions peuvent être ajoutées sans perte de rapport signal/bruit. Cependant, si le bruit de lecture est important, la division des expositions entraîne une réduction du rapport S/B.

Jusqu'à présent, nous avons discuté des erreurs aléatoires. Il existe un autre type d'erreurs, généralement plus gênant, connu sous le nom d'erreurs systématiques. Celles-ci ne se produisent pas au hasard, mais sont plutôt corrélées avec certaines variables, éventuellement inconnues, liées à vos observations, et peuvent avoir pour effet non seulement d'ajouter un écart autour de la vraie valeur que vous essayez de mesurer, mais de mesurer en fait la mauvaise moyenne.

Notez également que dans certains cas, les erreurs systématiques peuvent se faire passer pour des erreurs aléatoires dans vos observations de test (ou être complètement manquantes si vous ne prenez pas les données exactement de la même manière), mais être en fait systématiques dans vos observations scientifiques.

EXEMPLE : champ plat, variations de QE sous-pixel.

Notez que l'analyse des erreurs à partir des erreurs aléatoires attendues peut être le seul indice que vous obtenez pour découvrir les erreurs systématiques. Pour découvrir les erreurs systématiques, tracez les résidus par rapport à tout !


Pourquoi le rapport signal sur bruit est important

Les spécifications du rapport signal/bruit peuvent être trouvées dans de nombreux produits et composants qui traitent de l'audio tels que les haut-parleurs, les téléphones (sans fil ou autres), les écouteurs, les microphones, les amplificateurs, les récepteurs, les platines, les radios, les lecteurs CD/DVD/médias, Cartes son pour PC, smartphones, tablettes, etc. Cependant, tous les fabricants ne font pas facilement connaître cette valeur.

Le bruit réel est souvent caractérisé comme un sifflement blanc ou électronique ou statique, ou un bourdonnement faible ou vibrant. Montez le volume de vos haut-parleurs au maximum pendant que rien ne joue - si vous entendez un sifflement, c'est le bruit, qui est souvent appelé "plancher de bruit". Tout comme le réfrigérateur dans le scénario décrit précédemment, ce bruit de fond est toujours là.

Tant que le signal entrant est fort et bien au-dessus du bruit de fond, l'audio pourra maintenir une qualité supérieure. C'est le genre de bon rapport signal/bruit que les gens préfèrent pour un son clair et précis.

Mais si un signal s'avère faible, certains pourraient penser à simplement augmenter le volume afin d'amplifier la sortie. Malheureusement, le réglage du volume vers le haut et vers le bas affecte à la fois le bruit de fond et le signal. La musique peut devenir plus forte, mais le bruit sous-jacent le sera aussi. Vous n'auriez qu'à augmenter la puissance du signal de la source pour obtenir l'effet souhaité. Certains appareils comportent des éléments matériels et/ou logiciels conçus pour améliorer le rapport signal/bruit.

Malheureusement, tous les composants, même les câbles, ajoutent un certain niveau de bruit à un signal audio. Ce sont les meilleurs qui sont conçus pour maintenir le bruit de fond aussi bas que possible afin de maximiser le rapport. Les appareils analogiques, tels que les amplificateurs et les platines, ont généralement un rapport signal/bruit inférieur à celui des appareils numériques.


Voir la vidéo: Signal to Noise Ratio (Novembre 2022).